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Bonsoir,


L'énoncé de mon exercice : " Soit f la fonction définie par [tex]\frac{e^{x}-1}{e^{x}-x }[/tex]
On admet que f est strictement croissante sur [0;1]."

1) Montrer que pour tout x de [0;1], f(x) appartient à [0;1]

2) Soit D la droite d’équation x=y

a) Montrer que f(x)-x = [tex]\frac{(1-x)g(x)}{e^{x}-x }[/tex] où g(x) est à déterminer

b) Du sens de variation de g déduire le signe de g(x) sur l'intervalle [0;1].


Je n'arrive pas la 2 a) et b)

Merci d'avance pour votre aide

Sagot :

Gryd77

Réponse :


Explications étape par étape

[tex]f(x)-x=\frac{e^x-1}{e^x-x}-x= \frac{e^x-1}{e^x-x}-\frac{x(e^x-x)}{e^x-x}\\= \frac{e^x-xe^x-1 +x^2}{e^x-x}\\= \frac{e^x(1-x)-(1-x^2)}{e^x-x}\\= \frac{(1-x)(e^x-(1+x))}{e^x-x}\\\Rightarrow g(x)=e^x-x-1\\[/tex]

[tex]g'(x)=e^x-1\\g'(x)\geq0 \text{ pour tout }x\in [0;1] \Rightarrow g(x) \nearrow\\g(0)=e^0-0-1=0\\\Rightarrow\forall x\in [0;1], g(x)\geq 0[/tex]

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