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Bonsoir, voici l'énoncé de mon exercice : " Soit f la fonction définie par [tex]\frac{e^{x}-1 }{e^{x}-x }[/tex]
On admet que f est strictement croissante sur [0;1]."

1) Montrer que pour tout x de [0;1], f(x) appartient à [0;1]

2) Soit D la droite d’équation x=y

a) Montrer que f(x)-x = [tex]\frac{(1-x)g(x)}{e^{x}-x}[/tex] où g(x) est à déterminer

b) Du sens de variation de g déduire le signe de g(x) sur l'intervalle [0;1].

c) En déduire la position relative de D et de la courbe C représentant la fonction f sur [0;1]

Je n'arrive vraiment pas la 2 c)

Merci d'avance pour votre aide

Sagot :

Réponse :

soit la fonction définie par

f(x) = (eˣ - 1)/(eˣ - x)

on admet que f est strictement croissante sur [0 ; 1]

Explications étape par étape

1) montrer que pour tout  x de [0 ; 1]   f(x) ∈ [0 ; 1]

    0 ≤ x ≤ 1 ⇒ f(0) ≤ f(x) ≤ f(1)

f(0) = (e⁰ - 1)/(e⁰ - 0) = (e⁰ - 1)/e⁰  or e⁰ = 1 ⇒ donc f(0) = 0

f(1) = (e¹ - 1)/(e¹ - 1) = 1

donc  f(x) ∈ [0 ; 1)

2) soit D la droite d'équation y = x

a) montrer que f(x) - x = (1 - x)g(x)/(eˣ - x)  où g(x) est à déterminer

f(x) - x = [(eˣ - 1)/(eˣ - x)] - x

          =  [(eˣ - 1)/(eˣ - x)] - x(eˣ - x)/(eˣ - x)

          = (eˣ - 1 - xeˣ + x²)/(eˣ - x)

          = [eˣ(1 - x) - 1 + x²]/(eˣ - x)

          = [eˣ(1 - x) - (1 - x²)]/(eˣ - x)

          = [eˣ(1 -x) - (1 - x)(1+x)]/(eˣ - x)

          = (1 - x)(eˣ - (1+x)/(eˣ - x)

posons g(x) = eˣ - (1+x)

on obtient donc  f(x) - x = (1-x)g(x)/(eˣ - x)

g(x) = eˣ - x - 1

b) du sens de variation de g déduire le signe de g(x) sur l'intervalle [0 ; 1)

la fonction g est dérivable sur [0 ; 1], puisque la somme de fonction qui est dérivable sur [0 ; 1]

et pour tout réel x ∈[0 ; 1] ⇒ g '(x) = eˣ - 1

Etudions le signe de g '

soit x ∈ [0 ; 1] ; eˣ - 1 ≥ 0 ⇒ g '(x) ≥ 0 ⇒ la fonction g ' est croissante sur [0 ; 1]

g admet un minimum en 0; pour tout x ∈[0 ; 1] ⇒ g(x) ≥ g(0) ⇒ g(x) ≥ 0

donc la fonction g est positive sur l'intervalle [0 ; 1]

c) en déduire la position relative de D et de la courbe C représentative de la fonction f sur [0 ; 1]

pour étudier la position relative de C et D sur [0 ; 1] , il suffit de comparer les fonction f  de C et y de D en étudiant le signe de f(x) - y

f(x) - y  ⇔ f(x) - x = (1 - x)g(x)/(eˣ - x)

on a déjà vu que g(x) ≥ 0  et eˣ - x > 0  pour x ∈[0 ; 1]

il reste à étudier le signe de 1 - x

x ∈[0 ; 1] ⇒ x ≥ 0 et x ≤ 1  ⇒ 1 - x ≥ 0 ⇒ x ≤ 1

donc  f(x) - x ≥ 0   sur [0 ; 1] , alors Cf est au dessus de D sur [0 ; 1]

f(x) - x = 0 ⇔ (1-x)g(x) = 0 ⇒ 1 - x = 0 ⇒ x = 1

                                         ⇒ g(x) = eˣ - x - 1  ≥ 0    

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