Réponse :
Explications étape par étape
[tex]z_0=4\\z_{n+1}=\frac{1+i}{2}z_n\\[/tex]
1)
[tex]z_1=2(1+i)\\z_2=\frac{1+i}{2}\times 2(1+i)=(1+i)^2=1+2i-1=2i\\z_3=\frac{1+i}{2}\times 2i=-1+i\\[/tex]
2a)
[tex]A_{n-1}A_n=|z_n-z_{n-1}|\\=|\frac{1+i}{2}z_{n-1}-z_{n-1} |\\\text{on va noter }Z=\frac{1+i}{2}\\A_{n-1}A_n=|z_{n-1}(Z-1)|\\=|z_{n-1}\frac{-1+i}{2}|\\=|z_{n-1}(-\bar Z)|=|z_{n-1}|\times|\bar Z|=|z_{n-1}|\times|Z|=|z_{n-1}Z|=|z_n|\\[/tex]
2b)
Initialisation :
[tex]A_0A_1=|z_1|=\sqrt{4+4}= 2\sqrt 2\\[/tex] VERIFIEE
Hérédité :
Hypothèse : [tex]A_{n-1}A_{n}=|z_n-z_{n-1}|=2\sqrt2(\frac{\sqrt2}{2})^{n-1}\\[/tex]
Alors :
[tex]A_{n-1}A_{n}=|z_n-z_{n-1}|=2\sqrt2(\frac{\sqrt2}{2})^{n-1}=|z_n|\\A_nA_{n+1} = |z_{n+1}|=|Z||z_n|\\|Z|=|\frac{1+i}{2}|=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4} }=\frac{\sqrt 2}{2}\\ \Rightarrow A_nA_{n+1}=2\sqrt2(\frac{\sqrt2}{2})^{n-1}\times\frac{\sqrt 2}{2}\\ A_nA_{n+1}=2\sqrt2(\frac{\sqrt2}{2})^{n}[/tex]
2c) On a donc une suite géométrique u de 1er terme : [tex]u_1=|z_1|=2\sqrt2[/tex]
et de raison : [tex]q=\frac{\sqrt 2}{2}[/tex]
Et [tex]l_n[/tex] est la somme des n premiers termes de cette suite
[tex]u_1=|z_1|=2\sqrt2\\q=\frac{\sqrt 2}{2}\\l_n=u_1\frac{1-q^n}{1-q} \\l_n=2\sqrt2(\frac{1-(\frac{\sqrt 2}{2})^n}{1-\frac{\sqrt 2}{2}})\\l_n=4\sqrt2(\frac{1-(\frac{\sqrt 2}{2})^n}{2-\sqrt 2})\\[/tex]
2d)
[tex]l_n=4\sqrt2(\frac{1-(\frac{\sqrt 2}{2})^n}{2-\sqrt 2})\\\frac{\sqrt 2}{2}<1 \Rightarrow \lim_{n \to \infty} (\frac{\sqrt 2}{2})^n=0\\ \lim_{n \to \infty} l_n =\frac{4\sqrt2}{2-\sqrt2}= \frac{4\sqrt2(2+\sqrt2)}{(2-\sqrt2)(2+\sqrt2)}= 4+4\sqrt2[/tex]
