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Bonjour,


J'ai besoin d'aide concernant un exercice.


En fait, notre prof veut qu'on démontrer le théorème de Wilson. Du coup, les questions sont indépendantes et là il y a une suite de question qui m'a complètement perdu.


p est un nombre premier


5) Soit x un entier tel que 1 < x < p - 1


a. Démontrer qu'il existe un entier y tel que : 1 < y < p-1 et tel que xy ≡ 1 [p]

Je sais qu'il faut utiliser le PETIT théorème de Fermat mais comment, alors là je suis perdu.


b. Démontrer que y est unique.


c. Démontrer que si x = 1 alors x = y.


d. De même démontrer que si x = p - 1 alors x = y.


e. Démontrer que si x et différent de 1 et de p - 1 alors x est différent de y.


Merci de bien vouloir m'expliquer comment vous procéder et de m'expliquer étapes par étapes ce vous faîtes.


Merci d'avance !


Dreamus


Sagot :

Réponse :


Explications étape par étape

1 < x < p-1   ET   1 < y < p-1   donnent 1 < xy < (p-1)²

or (p-1)² = p² - 2p + 1

donc 1 < xy < p² - 2p + 1

et xy ≡ 1 [ modulo p ] .

b) prenons p = 13 pour mieux comprendre :

   1 < x < 12   ET   1 < y < 12

   les couples (x;y) solutions sont donc :

 

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