Réponse :
Résoudre les inéquations suivantes d'inconnue x dans R
1) (2 x - 3)(x + 5)/(-2 x + 1) < 0
établissons le tableau de signe
x - ∞ - 5 1/2 3/2 + ∞
2 x - 3 - - - 0 +
x + 5 - 0 + + +
- 2 x + 1 + + || - -
Q + 0 - || + 0 -
l'ensemble des solutions est S = ]- 5 ; 1/2[U]3/2 ; + ∞[
2) (x - 5)/(x² - 9) ≥ 0
x - ∞ - 3 3 5 + ∞
x - 5 - - - 0 +
x²-9 + || - || + +
Q - || + || - 0 +
L'ensemble des solutions est : S = ]- 3 ; 3[ et [5 ; + ∞[
3) x/(x+3) < x/(x- 2) ⇔ x/(x +3) - x/(x - 2) < 0 ⇒ x ≠ 2 et x ≠ - 3
⇔ x(x-2) - x(x+3)/(x+3)(x-2) < 0
⇔ - 5 x/(x+3)(x-2) < 0
x - ∞ - 3 0 2 + ∞
- 5 x + + 0 - -
x+ 3 - || + + +
x-2 - - - || +
Q + || - 0 + || -
l'ensemble des solutions est : S = ]- 3 ; 0[U]2 ; + ∞[
4) 1 - 1/(x+1) > 1 + 1/(x-1) ⇒ x ≠ 1 et x ≠ - 1
⇔ 1 - 1/(x+1) - 1 - 1/(x-1) ⇔ - 1/(x+1) - 1/(x-1)
⇔ [-(x - 1) - (x+ 1)]/(x+1)(x-1)
⇔ - 2 x/(x+1)(x-1)
x - ∞ - 1 0 1 + ∞
- 2 x + + 0 + +
x+1 - || + + +
x- 1 - - - || +
Q + || - 0 - || +
L'ensemble des solutions est : S = ] - ∞ ; - 1[U]1 ; + ∞[
5) (2 x - 3)/(x+5) ≤ (x+5)/(2 x - 3) x ≠ - 5 et x ≠ 3/2
⇔ (2 x - 3)/(x+5) - (x+5)/(2 x - 3) ≤ 0
⇔ [(2 x - 3)(2 x - 3) - (x+5)(x+ 5)]/(x+5)(2 x -3) ≤ 0
⇔ [(2 x - 3)² - (x+5)²]/(x+5)(2 x- 3) ≤ 0
⇔ (2 x - 3 + x + 5)(2 x - 3 - x - 5)/(x+5)(2 x - 3) ≤ 0
⇔ (3 x +2)(x - 8)/(x+5)(2 x - 3) ≤0
x - ∞ - 5 -2/3 3/2 8 + ∞
3 x +2 - - 0 + + +
x -8 - - - - 0 +
x+5 - || + + + +
2 x-3 - - - || + +
Q + || - 0 + || - 0 +
L'ensemble des solutions est : S = ] - 5 ; - 2/3] et ]3/2 ; 8]
Explications étape par étape
