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Sagot :
Bonsoir,
L'aire du rectangle MNPQ = QM * MN.
L'axe des ordonnées est un axe de symétrie pour la parabole ==> P est le symétrique de N par rapport à cet axe et Q est le symétrique de M par rapport à cet axe.
Donc si O est l'origine du repère,
QM = 2* OM
= 2x.
MN = 6-x²
Par conséquent l'aire du rectangle MNPQ est donnée par A(x) = 2x(6-x²).
Etudions les variations de la fonction A.
A(x) = 2x(6-x²)
= 12x - 2x^3
A'(x) = 12 - 6x²
= 6(2-x²)
Racines de A :
6(2-x²)=0
2-x²=0
(V2 - x)(V2 + x) = 0
V2 - x = 0 ou V2 + x = 0
x = 2 ou x = -V2.
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|}x&-\infty&&-\sqrt{2}&&\sqrt{2}&&+\infty \\ A'(x)&&-&0&+&0&-&\\A(x)&&\searrow&&\nearrow&&\searrow&\\ \end{array}[/tex]
Or x∈ [0 ; V6]
Donc, le tableau devient :
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|}x&0&&\sqrt{2}&&\sqrt{6} \\ A'(x)&&+&0&-&\\A(x)&0&\nearrow&8\sqrt{2}&\searrow&0\\ \end{array}[/tex]
L'aire du rectangle sera maximale si x = V2, soit pour [tex]M(\sqrt{2};0)[/tex]
L'aire du rectangle MNPQ = QM * MN.
L'axe des ordonnées est un axe de symétrie pour la parabole ==> P est le symétrique de N par rapport à cet axe et Q est le symétrique de M par rapport à cet axe.
Donc si O est l'origine du repère,
QM = 2* OM
= 2x.
MN = 6-x²
Par conséquent l'aire du rectangle MNPQ est donnée par A(x) = 2x(6-x²).
Etudions les variations de la fonction A.
A(x) = 2x(6-x²)
= 12x - 2x^3
A'(x) = 12 - 6x²
= 6(2-x²)
Racines de A :
6(2-x²)=0
2-x²=0
(V2 - x)(V2 + x) = 0
V2 - x = 0 ou V2 + x = 0
x = 2 ou x = -V2.
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|}x&-\infty&&-\sqrt{2}&&\sqrt{2}&&+\infty \\ A'(x)&&-&0&+&0&-&\\A(x)&&\searrow&&\nearrow&&\searrow&\\ \end{array}[/tex]
Or x∈ [0 ; V6]
Donc, le tableau devient :
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|}x&0&&\sqrt{2}&&\sqrt{6} \\ A'(x)&&+&0&-&\\A(x)&0&\nearrow&8\sqrt{2}&\searrow&0\\ \end{array}[/tex]
L'aire du rectangle sera maximale si x = V2, soit pour [tex]M(\sqrt{2};0)[/tex]
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