Réponse :
Explications étape par étape
■ Tu es déçu de ne pas avoir de cours ? ☺
1°) f(z) = z donne 2z = z + iz* donc z = iz*
a + ib = ia + b
d' où b = a .
l' ensemble (D) est donc bien une droite d' équation y = x
( il s' agit de la première bissectrice ! )
2°) le numérateur f(z) - z = 0,5z + 0,5iz* - z = 0,5iz* - 0,5z
le dénominateur = (1-i)
donc on a (0,5iz* - 0,5z) (1+i) / 2
= (0,5iz* - 0,5z* -0,5z - 0,5iz) / 2
= (0,5ia + 0,5b - 0,5a + 0,5ib - 0,5a - 0,5ib - 0,5ia + 0,5b)/2
= ( b - a ) / 2 qui est bien un réel pur !
3°) a' + ib' = 0,5a + 0,5ib + 0,5ia + 0,5b = 0,5(a+b) + 0,5i(a+b) .
prenons z = 2+4i --> z' = 3+3i
le point M' d' affixe z' est en fait la projection du point M
d' affixe z sur la première bissectrice !
4°) f(f(z)) = f(z) est évident puisque la projection étant réalisée
sur la droite des invariants ( la première bissectrice ici ),
on obtient un point qui se projettera sur lui-même !
5°) M a pour affixe z = a +ib ; M appartient à la droite (Δ)
d' équation y = -x + a+b .
M' étant la projection de M sur la droite (D), on a bien M'
intersection des droites d' équations y = -x + a+b et y = x
--> 2x = a+b --> x = (a+b)/2 .
conclusion :
les coordonnées du point M' sont donc ( (a+b)/2 ; (a+b)/2 )
