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Bonsoir, je suis vraiment en galère quelqu’un pourrait m’aider Je comprends vraiment nada je demande pas toutes les reponses mais seulement celles qui sont possible
alors voici le problème ( niveau 2nde ) :
ABC est un triangle isocèle en C tel que AC=5cm et AB = 6cm
I est le milieu du segment [ AB ]
M est un point variable du segment [AI] et N le point du segment [AB] tel que
AM = NB

Q est le point du segment [BC] et
P est le point du segment [AC] tels que MNPQ soit un rectangle

La longueur AM, en cm, sera noté x et on note f la fonction qui à x associe l’aire , en cm2 (carré), du rectangle MNPQ

1) sur quel intervalle varie x ?
2) exprimer MN en fonction de x
3) calculer la longueur CI
4) en utilisant le théorème de Thalès dans le triangle AIC, exprimer MP en fonction de x
5) grâce au question 2) et 4) montrer que, pour tout x l’intervalle [0;3] , f(x) = — 8/3x2 (x au carré) +8x.

6) calculer f ( 3/2)
7) montrer que, pour tout x appartient à [0;3], f(x) — f (3/2) = - 8/3 (x-3/2) au carré
8) quel signe de -8/3 ( x-3/2) au carré pour tout x appartient [0;3] ?
9) En déduire que f(3/2) est le maximum de f sur [0;3]
10) quelles sont les dimensions du rectangle d’aire maximale ?

Et tout ça c’est le même exercice
Merci d’avance si j’ai des reponses




Sagot :

Réponse :

1) sur quel intervalle varie x

  x ∈ [0 ; 3]

2) exprimer MN en fonction de x

MN = AB - (AM + NB) = 6 - 2 x

3) calculer la longueur CI

triangle ACI rectangle en I

CI² = AC² - AI² = 25 - 9 = 16 ⇒ CI = √16 = 4 cm

4) en utilisant le théorème de Thalès dans le triangle AIC, exprimer MP en fonction de x

AM/AI = MP/CI ⇒ MP = AM x CI/AI = x *4/3 = 4/3) x

⇒ MP = 4/3) x

5) grâce au question 2) et 4) montrer que pour tout x de [0 ; 3]

f(x) = - 8/3) x² + 8 x

l'aire de MNPQ est : A = MN * MP = (6 - 2 x)*4/3) x = 24/3) x - 8/3) x²

donc  f(x) = 8 x - (8/3) x²

6) calculer f(3/2) = 8*3/2 - (8/3)*(3/2)² = 24/2 - 72/12 =  144 - 72)/12 = 72/12 = 6

7) montrer que, pour tout x ∈[0 ; 3] , f(x) - f(3/2) = - 8/3(x - 3/2)²

f(x) - f(3/2) = 8 x - (8/3) x² - 6  = - 8/3) x² + 8 x - 6

α = - b/2a = - 8/-2 (8/3) = 24/16 = 6/4 = 3/2

β = f(3/2) - f(3/2) = 0

⇒ f(x) - f(3/2) = - 8/3(x - 3/2)²

8) quel signe de - 8/3(x - 3/2)²

(x - 3/2)² ≥ 0   et  - 8/3 < 0 ⇒ - 8/3(x - 3/2) ≤ 0

9) en déduire que f(3/2) est le maximum de f sur [0 ; 3]

f(x) - f(3/2) = - 8/3(x - 3/2)² ⇒ f(x) =  - 8/3(x - 3/2)² + f(3/2)

comme f(x) est une forme canonique ⇒ β = f(3/2) = 6 est le maximum de f

10) quelles sont les dimensions du rectangle d'aire maximale

MN = 6 - 2 x = 6 - 2 (3/2) = 3 cm

MP = 4/3 (3/2) = 2 cm    

Explications étape par étape


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