Réponse : Exercice 2
3) Pour étudier le signe de P'(x), il faut étudier le signe de [tex]2x^{2}-200[/tex] et [tex]x^{2}[/tex] pour [tex]x \in ]0;+\infty[[/tex].
Pour [tex]x \in ]0;+\infty[[/tex], [tex]x^{2}>0[/tex], car un carré est toujours positif.
Étudions le signe de [tex]2x^{2}-200[/tex] pour [tex]x \in ]0;+\infty[[/tex].
[tex]2x^{2}-200 > 0 \\2x^{2}>200\\x^{2}>100\\x \in ]-\infty;-10[ \cup ]10;+\infty[[/tex].
Donc comme [tex]x \in ]0;+\infty[[/tex], alors [tex]2x^{2}-200>0[/tex] pour [tex]x \in ]10;+\infty[[/tex].
De la même façon, on montre que [tex]2x^{2}-200<0[/tex], pour [tex]x \in ]0;10[[/tex].
Donc [tex]P'(x)>0[/tex] pour [tex]x \in ]10;+\infty[[/tex], et [tex]P'(x)<0[/tex], pour [tex]x \in ]0;10[[/tex].
4) On en déduit que [tex]P(x)[/tex] est décroissante sur l'intervalle [tex]]0;10[[/tex] et croissante sur l'intervalle [tex]]10;+\infty[[/tex].
5) Au vu du tableau de variations sur l'intervalle [tex]]0;+\infty[[/tex], le minimum de [tex]P(x)[/tex] est atteint en [tex]x=10[/tex].
Donc la longueur où le périmètre est minimal est [tex]x=10[/tex] et la largeur [tex]y[/tex] s'obtient avec la relation [tex]y=\frac{100}{x}[/tex].
Exercice 3
Il faut étudier le signe de la fonction [tex]f(x)=x\sqrt{x}-\frac{3}{2} x+\frac{1}{2}[/tex].
La fonction dérivée est [tex]f'(x)=\frac{3(\sqrt{x}-1) }{2}[/tex], [tex]f'(x)[/tex] est donc du signe de [tex]\sqrt{x} -1[/tex] sur [tex][0;+\infty[[/tex], donc sur [tex][0;3][/tex].
Étudions le signe de [tex]\sqrt{x} -1[/tex] sur [tex][0;3][/tex].
[tex]\sqrt{x} -1 > 0\\\sqrt{x} >1\\x>1[/tex], on passe de la deuxième ligne à la troisième ligne car [tex]x \geq 0[/tex], et la fonction carré est croissante sur [tex][0;+\infty[[/tex].
De la même façon,on trouve que [tex]\sqrt{x}-1<0[/tex] pour [tex]x<1[/tex].
On en déduit que [tex]f(x)=x\sqrt{x} -\frac{3}{2} x+\frac{1}{2}[/tex] est décroissante sur l'intervalle [tex][0;1][/tex] et croissante sur l'intervalle [tex][1;3][/tex].
Donc le minimum de [tex]f(x)[/tex] est atteint en [tex]x=1[/tex], et ce minimum vaut [tex]f(1)=1 \sqrt{1} -\frac{3}{2} 1+\frac{1}{2} =1-\frac{3}{2} +\frac{1}{2} =1-1=0[/tex].
Donc sur [tex][0;3], f(x) \geq 0[/tex], d'où [tex]x\sqrt{x} -\frac{3}{2} x+\frac{1}{2} \geq 0[/tex] d'où [tex]x\sqrt{x} \geq \frac{3}{2} x-\frac{1}{2}[/tex].
