Réponse :
soit f la fonction définie sur R par f(x) = x² - 6 x + 1 est strictement croissante sur [3;+∞[ et strictement décroissante sur }- ∞ ; 3]
soit deux réels a et b tels que a < b
1) montrer que f(b) - f(a) = (b-a)(a+b - 6)
f(b) - f(a) = b² - 6 b + 1 - (a² - 6 a + 1)
= b² - 6 b + 1 - a² + 6 a - 1
= b² - a² - 6 b + 6 a
= b² - a² - 6(b - a)
= (b-a)(b+a) - 6(b-a)
= (b-a)(b+a - 6)
⇒ f(b) - f(a) = (b-a)(a+b - 6)
2) déterminer alors le signe de f(b) - f(a) en fonction des valeurs de a et b
f(b)-f(a) = (b-a)(a+b - 6) ; sachant que a < b ⇒ b > a donc b-a > 0
a+b - 6
lorsque a ≥ 3 et b ≥ 3 ⇔ a+b ≥ 6 ⇒ a+b-6 ≥ 0
⇒ donc f(b)-f(a) > 0
lorsque a ≤ 3 et b ≤ 3 ⇔ a+b≤6 ⇒ a+b-6≤ 0
puisque b - a >0 et a+b-6 ≤0 ⇒ f(b) - f(a) < 0
3) en déduire les variations de f
lorsque f(b) - f(a) > 0 ⇒ f est strictement croissante sur [3 ; + ∞[
lorsque f(b) - f(a) < 0 ⇒ f est strictement décroissante sur ]- ∞ ; 3]
Explications étape par étape
