Réponse :
Explications étape par étape
1)
Voir figure jointe
Je ne mets pas de flèches, mais ce sont partout des vecteurs
Pour trouver les points :
AD+3DC=0 ==> AD+3DA+3AC=2DA+3AC=0 ==> AD=3/2AC
AE-3EB=0 ==> AE+3BE=0 ==> AE+3BA+3AE=0 ==>AE=3/4AB
2AF+AB=5AC ==> 2AF=5AB+5BC+BA=4AB+5BC ==> AF=2AB+5/2BC
AH-BH+2CH=0 ==> AH+HB +2CH=0 ==> CH=BA/2
AK=1/2AB ; BK=1/2BA
2)
DF=DA+AF=AF-AD=2AB+5/2(BA+AC)-3/2AC = -AB/2+AC
DE=AE-AD=3/4AB-3/2AC
CK=CA+AK=AB/2-AC
BE=BA+AE=-AB+3/4AB=-AB/4
BK=-AB/2
BH=BA+AC+CH=-AB+AC-AB/2=-3/2AB+AC
3)
a)
DE=-3/2DF Les vecteurs sont colinéaires, donc les points D, E et F sont alignés
b)
CK=AB/2-AC et DE=3/4AB-3/2AC=-3/2AC Les vecteurs sont colinéaires (ils ont même direction) donc les droites (CK) et (DE) sont parallèles
c)
BE=-AB/4=BK/2 Le point E est le milieu du segment [BK]
d)
AD=3/2AC
HF=HC+CA+AF=AB/2-AC+2AB+5/2BC=AB/2-AC+2AB+5/2BA+5/2AC
HF=AB(1/2+2-5/2)=AC(-1+5/2)=3/2AC
Les vecteurs AD et HF sont égaux. Les segments [AD] et [FH] sont donc parallèles et de même longueur. ADFH est un parallélogramme.
