Réponse :
Explications étape par étape
Ils ne sont pas si "complexes" que ça.
Nous sommes bien d'accord que i est le nombre imaginaire (donc non réel) tel que [tex]i^2=-1[/tex]
1)
On résout l'équation comme on le ferait pour une équation réelle, mais d'habitude, et parce que c'est bien plus facile après, on rend le dénominateur réel en utilisant le "complexe conjugué" du dénominateur. En clair, on se sert encore une fois de l'identité (a+b)(a-b)=a²-b²
[tex](3-i)z-10=0\\(3-i)z=10\\z=\frac{10}{3-i}\\\\z=\frac{10(3+i)}{(3-i)(3+i)}=\frac{10(3+i)}{3^2-i^2}=\frac{10(3+i)}{9+1}=3+i[/tex]
2)
[tex]\left \{ {{2z_1+3z_2=-2-7i} \atop {z_1-4z_2=-12+13i}} \right.\\\Leftrightarrow\left \{ {{2z_1+3z_2=-2-7i} \atop {z_1=4z_2-12+13i}} \right.\\\Leftrightarrow\left \{ {{2(4z_2-12+13i)+3z_2=-2-7i} \atop {z_1=4z_2-12+13i}} \right.\\\Leftrightarrow\left \{ {{8z_2-24+26i+3z_2=-2-7i} \atop {z_1=4z_2-12+13i}} \right.\\\Leftrightarrow\left \{ {{11z_2-24+26i=-2-7i} \atop {z_1=4z_2-12+13i}} \right.\\[/tex]
[tex]\Leftrightarrow\left \{ {{11z_2=22-33i} \atop {z_1=4z_2-12+13i}} \right.\\\Leftrightarrow\left \{ {{z_2=2-3i} \atop {z_1=4(2-3i)-12+13i}} \right.\\\Leftrightarrow\left \{ {{z_2=2-3i} \atop {z_1=-4+i}} \right.\\[/tex]
3)
a) (voir figure jointe) Pour tracer les points dans le plan complexe, il suffit de savoir que sur l'axe des réels (axe horizontal) l'unité représente le nombre réel 1 et sur l'axe des imaginaires (axe vertical), l'unité représente le nombre imaginaire i
Le point A d'affixe (affixe = nombre complexe qui est associé au point) -4+i a donc pour coordonnées -4 et 1 De même, B(2;-3) et C(3;1)
b) l'affixe de [tex]\vec{BC}[/tex] se déduit de la même façon à partir des coordonnées du vecteur, mais c'est encore plus simple en écrivant :
[tex]\text{affixe}(\vec{BC})=z_c-z_b=(3+i)-(2-3i)=1+4i\\[/tex]
c) Pour obtenir un parallélogramme, il faut que [tex]\vec{AD}=\vec{BC}[/tex]
donc (affixe de D) = (affixe de A) +(affixe de [tex]\vec{BC}[/tex])
[tex]z_D=z_A+z_{\vec{BC}} = (-4+i)+(1+4i)\\z_D=-3+5i\\[/tex]
