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Sagot :
Réponse : 1)a) En utilisant l'identité remarquable [tex]a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)[/tex], on a que [tex]b-a=(\sqrt{b}-\sqrt{a})(\sqrt{b} +\sqrt{a} )[/tex], d'où [tex]\frac{b-a}{\sqrt{b}+\sqrt{a} } =\frac{(\sqrt{b}-\sqrt{a} )(\sqrt{b}+\sqrt{a} ) }{\sqrt{b}+\sqrt{a} } =\sqrt{b} -\sqrt{a}[/tex]. Dans ce que vous avez écrit, je pense qu'il y a une erreur c'est plutôt [tex]\sqrt{b} -\sqrt{a} =\frac{b-a}{\sqrt{b}+\sqrt{a} }[/tex].
b) Ensuite, pour montrer que [tex]g[/tex] est dérivable en [tex]a[/tex], il faut montrer que [tex]\lim_{x \mapsto a}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a} }{x-a}[/tex] a une limite finie.
[tex]\lim_{x \mapsto a}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a} }{x-a} =\frac{\frac{x-a}{\sqrt{x}+\sqrt{a} } }{x-a}=\frac{x-a}{(\sqrt{x}+\sqrt{a} )(x-a) } =\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{a} }[/tex]
Et [tex]\lim_{x \mapsto a}\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{a} } =\frac{1}{2\sqrt{a} } =g'(a)[/tex].
Donc pour [tex]a>0[/tex], [tex]g[/tex] est dérivable en [tex]a[/tex] et [tex]g'(a)=\frac{1}{2\sqrt{a} }[/tex].
On voit que pour [tex]a=0, \frac{1}{2\sqrt{a} }[/tex] n'a pas de sens car le dénominateur s'annule, donc [tex]g[/tex] n'est pas dérivable en 0.
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