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On donne ci-dessous la vue de dessus d'une chambre rectangulaire.

Dans cette chmbre,on trouve une colonne(le rectangle OIAJ de dimension 6 dm et 3 dm) où passent des tuyaux et des câbles.

 

On souhaite cacher en réalisant une cloison (le segment [MN] qui passe par A).

 

Le but de l'exercice est de déterminer comment placer la coilson [MN] pour que l'aire OMN perdue soit la plus petite possible.           

 

TRIANGLE  DE HAUT EN BAS :                           N

FORME UN RECTANGLE POUR OJAI:

                                                                                    J          A

1.On note x=OM                                                       O          I          M

a)Pourquoi a-t-on forcément x > et/ou égale) 6 ?

 

B)En utilisant le théorème de Thalès ,montrer que ON= 3x sur x-6

 

C)En déduire alors que l'aire du triangle OMN est 3xau carré sur 2x-12

 

2) Soit f la fonction définie sur ]6;+infini[ par f(x)= 3xau carré sur 2x-12

 

3)En utilisant la calculatrice graphique ou un logiciel de géométrie dynamique,répondre aux uestions suivantes:

 

Compléter:

x       7      8        9    10     11    12   13      14      15     16     17     18

f(x)    ?       ?       ?     ?        ?      ?     ?         ?        ?        ?       ?       ?

 

B)Dresser le tableau de variatiion de F.

 

C)Quelle semble-être la valeur de OM pour que l'aire du triangle OMN soit la plus petite possible et quelle est cette aire?

 

D)Que peut-on dire alors de l'aire de OMN par rapport à l'aire de OIAJ ?

 

4)Démonstration de la conjecture du 3c)

A)Démontrer que ,dans ]6;+infni[ , résoure f(c) > et/ou égale a 36 est équivalent à résoudre 3(xau carré-24x+144) > 0

Factorier xau carré - 24x+144 puis conclure.

 

Sagot :

A)OM>=OI donc OM>=6 (sinon la cloison est a l'intérieur de la colonne).
B) Thalès : OI/OM=OJ/ON donc ON=OJ*OM/OI or OI=x-6 donc ON=3x/(x-6)
C) Aire du triangle = ON x OM / 2 = 3x/(x-6)*x/2=3x²/(2x-12)
3B) F décroissante sur [7;12] et croissante ensuite.
3C) OMN minimale en 12 dans ce cas l'aire de OM est 36
3D) Aire de OMN = 2 x aire de OIAJ
4A) f(x)>36 ssi 3x²/(2x-12)>36 comme on est sur  ]6;+oo[ 2x-12 est >0 donc on peut multiplier l'inéquation par 2x-12 et obtenir 3x²>36(2x-12) ssi 3x²>3(24x-144) soit 3x²-3(24x-144)>0 ssi 3(x²-24x+144)>0
x²-24x+144=(x-12)²
On a donc f(x)=36 ssi (x-12)²=0 soit x=12

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