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Sagot :
Bonjour
1) Pour démontrer que ABCD est un parallélogramme, i suffit de montrer que [tex]\vec{AB}=\vec{DC}[/tex]
Ces vecteurs sont égaux car :
[tex]\vec{AB}:(x_B-x_A;y_B-y_A)=(5-1;3-1)=(4;2)\\\\\vec{DC}:(x_C-x_D;y_C-y_D)=(2+2;9-7)=(4;2)[/tex]
2) [tex]3 \vec{CF} = \vec{CD}\\\\3(x_F-x_C;y_F-y_C)=-(4;2)\\\\3(x_F-2;y_F-9)=(-4;-2)\\\\\left\{\begin{matrix}3(x_F-2)=-4\\3(y_F-9)=-2\end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}3x_F-6=-4\\3y_F-27=-2\end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}3x_F=-4+6\\3y_F=-2+27\end{matrix}\right.\\\\\\\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}3x_F=2\\3y_F=25\end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x_F=\dfrac{2}{3}\\\\y_F=\dfrac{25}{3}\end{matrix}\right.\\\\F(\dfrac{2}{3};\dfrac{25}{3})[/tex]
******************************
[tex]3 \vec{AG} = \vec{AB}\\\\3(x_G-x_A;y_G-y_A)=(4;2)\\\\3(x_G-1;y_G-1)=(4;2)\\\\\left\{\begin{matrix}3(x_G-1)=4\\3(y_G-1)=2\end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}3x_G-3=4\\3y_G-3=2\end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}3x_G=4+3\\3y_G=2+3\end{matrix}\right.\\\\\\\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}3x_G=7\\3y_G=5\end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x_G=\dfrac{7}{3}\\\\y_G=\dfrac{5}{3}\end{matrix}\right.\\\\G(\dfrac{7}{3};\dfrac{5}{3})[/tex]
******************************
3) Milieu de [FG]
[tex](\dfrac{x_F+x_G}{2};\dfrac{y_F+y_G}{2})=(\dfrac{\dfrac{2}{3}+\dfrac{7}{3}}{2};\dfrac{\dfrac{25}{3}+\dfrac{5}{3}}{2})=(\dfrac{\dfrac{9}{3}}{2};\dfrac{\dfrac{30}{3}}{2})=(\dfrac{3}{2};\dfrac{10}{2})=(\dfrac{3}{2};5)[/tex]
Milieu de [AC]
[tex](\dfrac{x_A+x_C}{2};\dfrac{y_A+y_C}{2})=(\dfrac{1+2}{2};\dfrac{1+9}{2})=(\dfrac{3}{2};\dfrac{10}{2})=(\dfrac{3}{2};5)[/tex]
Les coordonnées des milieux de [FG] et [AC] sont égales.
Par conséquent, [FG] et [AC] ont le même milieu.
1) Pour démontrer que ABCD est un parallélogramme, i suffit de montrer que [tex]\vec{AB}=\vec{DC}[/tex]
Ces vecteurs sont égaux car :
[tex]\vec{AB}:(x_B-x_A;y_B-y_A)=(5-1;3-1)=(4;2)\\\\\vec{DC}:(x_C-x_D;y_C-y_D)=(2+2;9-7)=(4;2)[/tex]
2) [tex]3 \vec{CF} = \vec{CD}\\\\3(x_F-x_C;y_F-y_C)=-(4;2)\\\\3(x_F-2;y_F-9)=(-4;-2)\\\\\left\{\begin{matrix}3(x_F-2)=-4\\3(y_F-9)=-2\end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}3x_F-6=-4\\3y_F-27=-2\end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}3x_F=-4+6\\3y_F=-2+27\end{matrix}\right.\\\\\\\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}3x_F=2\\3y_F=25\end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x_F=\dfrac{2}{3}\\\\y_F=\dfrac{25}{3}\end{matrix}\right.\\\\F(\dfrac{2}{3};\dfrac{25}{3})[/tex]
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[tex]3 \vec{AG} = \vec{AB}\\\\3(x_G-x_A;y_G-y_A)=(4;2)\\\\3(x_G-1;y_G-1)=(4;2)\\\\\left\{\begin{matrix}3(x_G-1)=4\\3(y_G-1)=2\end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}3x_G-3=4\\3y_G-3=2\end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}3x_G=4+3\\3y_G=2+3\end{matrix}\right.\\\\\\\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}3x_G=7\\3y_G=5\end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x_G=\dfrac{7}{3}\\\\y_G=\dfrac{5}{3}\end{matrix}\right.\\\\G(\dfrac{7}{3};\dfrac{5}{3})[/tex]
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3) Milieu de [FG]
[tex](\dfrac{x_F+x_G}{2};\dfrac{y_F+y_G}{2})=(\dfrac{\dfrac{2}{3}+\dfrac{7}{3}}{2};\dfrac{\dfrac{25}{3}+\dfrac{5}{3}}{2})=(\dfrac{\dfrac{9}{3}}{2};\dfrac{\dfrac{30}{3}}{2})=(\dfrac{3}{2};\dfrac{10}{2})=(\dfrac{3}{2};5)[/tex]
Milieu de [AC]
[tex](\dfrac{x_A+x_C}{2};\dfrac{y_A+y_C}{2})=(\dfrac{1+2}{2};\dfrac{1+9}{2})=(\dfrac{3}{2};\dfrac{10}{2})=(\dfrac{3}{2};5)[/tex]
Les coordonnées des milieux de [FG] et [AC] sont égales.
Par conséquent, [FG] et [AC] ont le même milieu.
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