Réponse : 1) Il faut calculer la dérivée [tex]f'(x)[/tex].
On a [tex]f'(x)=-(-x)'e^{-x}=-(-1)e^{-x}=e^{-x} \geq 0[/tex].
[tex]f'(x) \geq 0[/tex] sur [tex]\mathbb{R}[/tex], donc [tex]f[/tex] est croissante sur [tex]\mathbb{R}[/tex].
2)a) Démontrons par récurrence que [tex](u_{n})[/tex] est croissante, c'est à dire que [tex]u_{n+1}-u_{n} \geq 0[/tex] pour tout [tex]n \in \mathbb{N}[/tex].
Initialisation: Pour [tex]n=0[/tex]. On a [tex]u_{1}=3-e^{0}=3-1=2[/tex].
Donc [tex]u_{1}-u_{0}=2-2=0 \geq 0[/tex].
La propriété est vraie pour [tex]n=0[/tex].
Hérédité: Supposons que la propriété est vraie à l'ordre [tex]n[/tex], donc que [tex]u_{n+1}-u_{n} \geq 0[/tex], et montrons que la propriété est vraie à l'ordre [tex]n+1[/tex], que [tex]u_{n+2}-u_{n+1} \geq 0[/tex].
[tex]u_{n+2}-u_{n+1}=f(u_{n+1})-f(u_{n})[/tex].
Par hypothèse, [tex]u_{n} \leq u_{n+1}[/tex], donc comme [tex]f[/tex] est croissante, [tex]f(u_{n}) \leq f(u_{n+1})[/tex], donc [tex]u_{n+1} \leq u_{n+2}[/tex].
La propriété est donc vraie à l'ordre [tex]n+1[/tex], donc pour tout [tex]n \in \mathbb{N}, u_{n} \leq u_{n+1}[/tex], donc la suite [tex](u_{n})[/tex] est croissante.
b) Démontrons par récurrence que pour tout [tex]n \in \mathbb{N}, u_{n} \leq 3[/tex].
Initialisation: Pour [tex]n=0, u_{0}=2 \leq 3[/tex].
Donc la propriété est vraie à l'ordre [tex]n=0[/tex].
Supposons la propriété vraie à l'ordre [tex]n[/tex], donc que [tex]u_{n} \leq 3[/tex], et montrons que [tex]u_{n+1} \leq 3[/tex].
D'après l'hypothèse de récurrence, [tex]u_{n} \leq 3[/tex], donc[tex]u_{n} \leq 3\\-e^{-u_{n}} \leq -e^{-3}\\3-e^{-u_{n}} \leq 3-e^{-3} \leq 3[/tex] car [tex]-e^{-3} \leq 0[/tex].
Donc [tex]u_{n+1} \leq 3[/tex], la propriété est donc vraie à l'ordre [tex]n+1[/tex], donc pour tout [tex]n \in \mathbb{N}[/tex], [tex]u_{n} \leq 3[/tex], la suite [tex](u_{n})[/tex] est donc majorée par 3.
c) La suite [tex](u_{n})[/tex] est croissante et majorée par 3, elle est donc convergente.