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Dwoman19
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Bonsoir pouvez-vous m'aider s'il vous plaît?

Exo 1 : A, B, C, D sont quatre points distincts. On note K le barycentre de (A;3) ; (B;1), J le milieu de [OC], G le centre de gravité de BCD et I le milieu de [AG]. Montrer que les points I,J et K sont alignés.

Exo 2 : Soit ABCD un parallélogramme de centre O, G le barycentre de (A;2),(B;1) et H le barycentre de (C;2), (D;1).
a) Montrer que les droites (AC), (BD) et (GH) sont concourantes.
b) Soit E le barycentre de (G;3), (D;1). Montrer que E est le milieu de [AD].

Merci d'avance.

Sagot :

Réponse :

ex1 avec J milieu de [CD]

Explications étape par étape

ex1) 3KA+KB=vec0   (nota tout est en vecteurs ajoute les flèches au dessus des segments)

3KA+KA+AB=0

AK=AB/4

construis les points K, G, I, et J

KJ=KB+BJ=(3/4)AB+(BD+BC)/2

KI=KA+AG/2=(-1/4)AB+(AB+BG)/2=

(-1/4)AB+(1/2)AB+(1/3)(BD+BC)/2

KI=(1/4)AB+(1/6)(BC+BD)

Conclusion HJ=3KI  les points K,I,J sont alignés.

                                     **********************

ex2:Plaçons les points G et H

2GA+1GB=vec0

2GA+GA+AB=0

3AG=AB donc AG=(1/3)AB

                               *************

2HC+HD=vec0

2HC+HC+CD=0

3CH=CD

CH=(1/3)CD

                                  *********************

Plaçons nous  dans le repère (A; vecAB; vecAC)=les coordonnées des points sont  A(0;0) B(1;0) C(1;1) D(0;1) ; O(1/2;1/2) G(1/3;0) et H(2/3;1)

Déterminons les équations des droites

(AC)  y=x

(BD) y=-x+1

(GH)   y=ax+b avec a= (yH-yG)/(xH-xG)=1/(1/3)=3 et comme yG=3*xG+b soit 0=3(1/3)+b d'où b=-1

(GH)  y=3x-1

O est l'intersection de (AC) et(BD) par définition car ABCD est un parallélogramme

Soit O' l'intersection de (AC) et (GH)

xO'est solution de 3x-1=x soit 2x=1     x=1/2

si xO'=1/2,  yO'=1/2 car il appartient à la droite (AC) y=x


Les coordonnées de O' sont (1/2; 1/2)

Conclusion: les points O et O' sont confondus et les 3 droites sont concourantes en O centre du parallélogramme..




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