Réponse :Bonjour,
1) [tex]f'(x)=3x^{2}-3 \times 2x+2\\f'(x)=3x^{2}-6x+2[/tex].
2) [tex]f(x)-(2-x)=x^{3}-3x^{2}+2x+1-(2-x)=x^{3}-3x^{2}+2x+1-2+x=x^{3}-3x^{2}+3x-1=(x-1)^{3}[/tex].
3) L'équation de la tangente à [tex]f[/tex] au point [tex]A[/tex] est:
[tex]y=f'(1)(x-1)+f(1)\\f'(1)=3 \times (1)^{2}-6 \times 1+2=3-6+2=-3+2=-1\\f(1)=1^{3}-3 \times 1^{2}+2 \times 1+1=1-3+2+1=-2+3=1\\[/tex].
Donc l'équation de la tangente à [tex]f[/tex] au point [tex]A[/tex] est:
[tex]y=f'(1)(x-1)+f(1)\\y=-1(x-1)+1\\y=-(x-1)+1\\y=-x+1+1\\y=-x+2[/tex]
Pour étudier la position relative, de [tex]\mathcal{C}[/tex] et de sa tangente au point [tex]A[/tex], il faut étudier le signe de [tex]f(x)-(2-x)=(x-1)^{3}[/tex].
Effectuons un tableau de signe:
-∞ 1 +∞
x-1 - Ф +
x-1 - Ф +
x-1 - Ф +
[tex](x-1)^{3}[/tex] - Ф +
Donc sur [tex]]-\infty;1], f(x)-(2-x) \leq 0[/tex], donc sur cet intervalle, la courbe [tex]\mathcal{C}[/tex] est en dessous de la tangente au point [tex]A[/tex].
Sur l'intervalle [tex][1;+\infty[, f(x)-(2-x) \geq 0[/tex], donc sur cet intervalle, la courbe [tex]\mathcal{C}[/tex] est au dessus de la tangente au point [tex]A[/tex].