Réponse : Bonjour,
Exercice 1
Le taux d'accroissement de [tex]f[/tex] entre [tex]3[/tex] et [tex]3+h[/tex]est [tex]\frac{f(3+h)-f(3)}{h}[/tex].
On a:
[tex]f(3+h)=3(3+h)^{2}+4(3+h)-5=3(9+6h+h^{2})+12+4h-5=27+18h+3h^{2}+12+4h-5=3h^{2}+22h+34\\f(3)=3 \times 3^{2}+4 \times 3-5=3 \times 9+12-5=27+12-5=34[/tex].
Donc le taux d'accroissement est:
[tex]\frac{f(3+h)-f(3)}{h} =\frac{3h^{2}+22h+34-34}{h}=\frac{3h^{2}+22h}{h}=\frac{h(3h+22)}{h}=3h+22[/tex].
2) Le taux d'accroissement existe, donc [tex]f[/tex] est dérivable en 3, et:
[tex]f'(3)=\lim_{h \mapsto 0}\frac{f(3+h)-f(3)}{h} =\lim_{h \mapsto 0}3h+22=22[/tex].
Donc [tex]f'(3)=22[/tex].
3) L'équation de la tangente à [tex]f[/tex] au point d'abscisse 3 est:
[tex]y=f'(3)(x-3)+f(3)\\y=22(x-3)+34\\y=22x-66+34\\y=22x-32[/tex].
Exercice 2
a) On a:
[tex]f(1+h)=\frac{2(1+h)+3}{1+h-2} =\frac{2+2h+3}{-1+h} =\frac{2h+5}{-1+h} \\f(1)=\frac{2 \times 1+3}{1-2} =\frac{5}{-1} =-5[/tex].
Le taux d'accroissement de [tex]f[/tex] entre [tex]1[/tex] et [tex]1+h[/tex] est:
[tex]\frac{f(1+h)-f(1)}{h} =\frac{\frac{2h+5}{-1+h}-(-5) }{h} =\frac{\frac{2h+5}{-1+h}+5}{h} =\frac{\frac{2h+5+5(-1+h)}{-1+h} }{h} =\frac{\frac{2h+5-5+5h}{-1+h} }{h} =\frac{\frac{7h}{-1+h} }{h} =\frac{7h}{-1+h} \times \frac{1}{h} =\frac{7}{h-1}[/tex].
Donc [tex]f'(1)=\lim_{h \mapsto 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h} =\lim_{h \mapsto 0}\frac{7}{h-1} =-7[/tex].
b) Le dénominateur de [tex]f[/tex] s'annule pour [tex]x=2[/tex], donc [tex]f[/tex] n'est pas dérivable en 2.
