Réponse :
f(x) = 3/2) x² - x²ln x + 1 définie sur ]0 ; + ∞[
1) déterminer la limite de f en 0 (on admet que la limite en 0 de la fonction
x→ xln x est 0)
on écrit lim xln(x) = 0
x→0
f(x) = 3/2) x² - x(xln x) + 1 ⇒ lim f(x) = lim ((3/2) x² - x(xln x) + 1) = 1
x→0
2) déterminer la limite de f en + ∞
f(x) = 1/2) x²(3 - 2ln x) + 1
lim f(x) = lim 1/2) x²(3 - 2ln x) + 1 = - ∞ car lim 1/2) x² = + ∞ et lim(3 - 2ln x)= - ∞
x→+ ∞ x→+∞ x→+∞
3) on désigne par f ' la fonction dérivée de f
a) montrer que pour tout x de ]0 ; + ∞[ f '(x) = 2 x(1 - ln x)
f(x) = 3/2) x² - x²ln x + 1
f '(x) = 3 x - (2 xln x + 1/x) x²) = 3 x - 2 x ln x - x = 2 x - 2 x ln x = 2 x(1 - ln x)
b) étudier le signe de f' (x) suivant les valeurs de x
f '(x) = 0 = 2 x (1 - ln x) ⇒ 1 - ln x = 0 et x > 0 ⇒ 2 x > 0
ln x = 1 ⇔ e^(ln x) = e¹ or e^ln x = x ⇒ x = e = 2.71...
x 0 e + ∞
2 x + +
1 - ln x + -
f '(x) + -
f '(x) > 0 sur ]0 ; e] et f '(x) < 0 sur [e ; + ∞[
4) établir le tableau de variation de f
x 0 e + ∞
f(x) 1 →→→→→→→→ 3.7 →→→→→→→ - ∞
croissante décroissante
5) a) justifier que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution α dans l'intervalle ]0 ; + ∞[
pour cette question la valeur de α peut être déterminée à partir du graphe
6) l'équation de la tangente au point d'abscisse 1 est:
y = f(1) + f '(1)(x - 1)
f(1) = 5/2
f '(1) = 2
⇒ y = 5/2 + 2(x - 1) = 5/2 + 2 x - 2 = 2 x + 1/2
Explications étape par étape
