Réponse :
2) montrer que ABCD n'est pas un parallélogramme
il suffit de montrer que les vecteurs AB et CD ne sont pas égaux
vect(AB)(1+1 ; - 1- 2) = (2 ; - 3)
vect(CD)(6-2 ; -2-4) = (4 ; - 6)
vect(AB) ≠ vect(CD) ⇒ ABCD n'est pas un parallélogramme
il s'agit d'un trapèze
3) soit I le milieu de (AC) et J le milieu de (BD) démontrer que la droite (IJ) est parallèle à la droite (AB)
I milieu de (AC) xi = 2-1)/2 = 1/2 et yi = 4+2)/2 = 6/2 = 3 ⇒ I(1/2 ; 3)
J milieu de (BD) xj = 6+1)/2 = 7/2 et yj = - 2-1)/2 = - 3/2 ⇒ J(7/2 ; - 3/2)
vect(IJ) = (7/2 - 1/2 ; - 3/2 - 3) = (3 ; - 9/2)
vect(AB)= (2 ; - 3)
vect(AB) et vect(IJ) sont colinéaire s'il existe un réel k tel que
vect(IJ) = k x vect(AB) ⇔ (3 ; - 9/2) = k x(2 ; - 3)
⇔ 3 = 2 k ⇒ k = 3/2
- 9/2 = - 3 k ⇒ k = 9/6 = 3/2
puisque on retrouve un k identique ⇒ (AB) et (IJ) sont parallèles
4) soit E le milieu de (BC) et F le point tel que 2 x vect(AF) = vect(AD); montrer que les points I, J , E et F sont alignés
E milieu de (BC) xe = 2+1)/2 = 3/2 et ye = 4-1)/2 = 3/2⇒ E(3/2 ; 3/2)
F milieu de (AD) xf = 6-1)/2 = 5/2 et yf = - 2+2)/2 = 0 ⇒ F(5/2 ; 0)
vect(IJ) et vect(EF) sont colinéaires s'il existe un réel k tel que
vect(IJ) = k x vect(EF)
vect(EF) (5/2 -3/2 ; 0 - 3/2) = (1 ; - 3/2)
vect(IJ)(3 ; - 9/2) = k x (1 ; - 3/2)
⇔ k = 3
⇔ - 9/2 = -3/2) k ⇒ k = 3
on trouve k = 3 identique ⇒ donc les points I, J , E et F sont alignés
Explications étape par étape