a) Montrer que, pour tout entier n non-nul : 1/n(n+1)= 1/n - 1/n-1
l'énoncé n'est pas correct, l'égalité à démontrer est
1/n(n+1)= 1/n - 1/n+1 (dernier terme 1/(n+1)
calcul : 1/n - 1/(n+1) = (n+1)/n(n+1) - n/n(n+1)
(réduction au même dénominateur)
= [(n+1) - n]/n(n+1) = (n+1-n)/n(n+1) = 1/n(n+1)
b) En déduire la valeur de S2006 :1/1x2 +1/2x3 + 1/3x4 + .... + 1/2006x2007
en utilisant l'égalité 1/n(n+1)= 1/n - 1/n+1
1/1x2 = 1/1 - 1/2 (n = 1)
1/2x3 = 1/2 - 1/3 (n = 2)
1/3x4 = 1/3 - 1/4 (n = 3 etc...
la somme S2006 devient
(1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + ................+ (1/2005 - 1/2006) + (1/2006 - 1/2007)
tous les termes s'éliminent, il reste le premier et le dernier
S2006 = 1 - 1/2007
c) Donner l'expression général de la somme Sn :1/1X2 +1/2X3 +...+ 1/n(n+1)
Sn = (1/1 -1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + .............. + (1/n - 1/(n+1))
Sn = 1 - 1/(n+1)
d) Résoudre l'équation d'inconnu n : Sn = 6/7
1 - 1/(n+1) = 6/7
1 - 6/7 = 1/(n+1)
1/7 = 1/n+1)
n+1 = 7
n = 6
