Réponse :
Explications étape par étape
Partie A
U_0=900
U_(n+1) = 0,6.U_n + 200
1)
U_1 = 0,6x900 + 200 = 740
U_2 = 0,6x740 + 200 = 644
2a)
V_n = U_n - 500
V_(n+1) = U_(n+1) - 500 = 0,6.U_n + 200 -500
V_(n+1) = 0,6.U_n - 300
500 x 0,6 = 300
V_(n+1) = 0,6.(U_n - 500)
V_(n+1) = 0,6.V_n
V_n est une suite géométrique de raison 0,6
V_0 = U_0 - 500
V_0 = 400
2b)
V_n est de raison 0,6 positive inférieure à 1 et de premier terme positif
==> V_n est décroissante et tend vers 0 quand n augmente indéfiniment
U_n = V_n +500 est elle aussi une suite décroissante
2c)
V_n : V_0=400 et raison q=0,6
[tex]v_n=v_0\times q^n=400\times0,6^n\\u_n=v_n+500\\\\u_n=400\times0,6^n+500\\[/tex]
2d)
[tex]u_n-500 < 1\\\Leftrightarrow 400\times0,6^n<1\\\Leftrightarrow 0,6^n<\frac{1}{400}\\\Leftrightarrow \ln(0,6^n)<\ln(\frac{1}{400})\\\Leftrightarrow n\ln(0,6)<-\ln(400)\\\Leftrightarrow n>-\frac{\ln(400)}{\ln(0,6)}\\\\\Leftrightarrow n>11,7[/tex]
Le plus petit entier répondant à la question est n=12
Partie B
1000 clients
1)
En 2011, A_0 = 1000 x 90% = 900
==> B_n = 100
En 2012 ; 20% de A_0 part en B soit 900x0,2=180 Il reste 720 anciens clients
20% de B=0 vient en A soit 100x0,2=20 nouveaux clients
==> A_1 = 720+20 = 740
2)
==> B_1 = 1000-740 = 260
A_2 = A_1 x 0,8 + B_1 x 0,2 = 740x0,8 + 260x0,2
En 2013 : A_2 = 644
3)
Année n : A_n et B_n = (1000 - A_n)
Année n+1
A_(n+1) = A_n x 0,8 "20% de départs" + (1000 - A_n) x 0,2 "venant de B"
4)
A_(n+1) = A_n x 0,8 + (1000 - A_n) x 0,2 = A_n x 0,8 + 200 - A_n x 0,2
A_(n+1) = A_n x 0,6 + 200
5)
La suite A_n est la même que la suite U_n étudiée précédemment. Comme dans la partie A, elle va donc tendre vers 500 au fil des années. Les clientèles vont s'équilibrer.
