Bonjour;
Partie A .
1)
On a : lim(x --> - ∞) exp(x) = 0 et lim(x --> - ∞) 2x = - ∞ ;
donc : lim(x --> - ∞) g(x) = lim(x --> - ∞) 2exp(x) + 2x - 5 = - ∞ .
On a : lim(x --> + ∞) exp(x) = + ∞ et lim(x --> + ∞) 2x = + ∞ ;
donc : lim(x --> + ∞) g(x) = lim(x --> + ∞) 2exp(x) + 2x - 5 = + ∞ .
2)
On a : g(x) = 2exp(x) + 2x - 5 ;
donc : g'(x) = 2exp(x) + 2 > 0 pour tout x ∈ IR ;
donc g est strictement croissante sur IR .
3)
La fonction est continue sur IR comme somme de fonctions
continues sur IR , et On a g(0,627) ≈ - 0,002 < 0
et g(0,628) ≈ 0,004 > 0 ; donc en appliquant le théorème des
valeurs intermédiaires l'équation g(x) = 0 admet une solution
sur l'intervalle ]0,627 ; 0,628 [ donc sur IR ;
et comme elle est strictement croissante sur IR cette solution
est unique . On nomme cette solution α .
4)
pour x ∈ ] - ∞ ; α [ g est strictement négative ;
et pour x ∈ ] α ; + ∞ [ g est strictement positive .
