Bonjour;
Partie B .
1.
On a : [tex]\underset{x\rightarrow+\infty}{lim}e^x=+\infty[/tex] donc : [tex]\underset{x\rightarrow+\infty}{lim}e^{-x}=\underset{x\rightarrow+\infty}{lim}\dfrac{1}{e^x}=0[/tex]
donc : [tex]\underset{x\rightarrow+\infty}{lim}1-e^{-x}=1\ .[/tex]
On a aussi : [tex]\underset{x\rightarrow+\infty}{lim}2x-3=+\infty\ ,[/tex]
donc : [tex]\underset{x\rightarrow+\infty}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow+\infty}{lim}(2x-3)(1-e^{-x})=+\infty\ .[/tex]
On a : [tex]\underset{x\rightarrow-\infty}{lim}e^x=0[/tex] donc : [tex]\underset{x\rightarrow-\infty}{lim}e^{-x}=\underset{x\rightarrow-\infty}{lim}\dfrac{1}{e^x}=+\infty[/tex]
donc : [tex]\underset{x\rightarrow-\infty}{lim}1-e^{-x}=-\infty\ .[/tex]
On a aussi : [tex]\underset{x\rightarrow-\infty}{lim}2x-3=-\infty\ ,[/tex]
donc : [tex]\underset{x\rightarrow-\infty}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow-\infty}{lim}(2x-3)(1-e^{-x})=+\infty\ .[/tex]
2.
[tex]f'(x)=(2x-3)'(1-e^{-x})+(2x-3)(1-e^{-x})'\\\\\\=2(1-e^{-x})+e^{-x}(2x-3)\\\\\\=2-2e^{-x}+2xe^{-x}-3e^{-x}=2+2xe^{-x}-5e^{-x}\\\\\\=e^{-x}(2e^x+2x-5)=e^{-x}g(x)=\dfrac{g(x)}{e^x}\ .[/tex]
