Le quadrilatère BCMN est un trapèze. L'aire d'un trapèze est égale à la demi-somme des bases multipliée par la hauteur. Les bases sont BC et MN, la hauteur est BC (perpendiculaire aux bases).
Il faut connaître BC et MN
1)
a) calcul de BC :
on applique Pythagore au triangle ABC rectangle en B.
AC² = AB² + BC²
5² = 4² + BC²
BC² = 16
BC = 4
b) calcul de MN
Les triangles AMN et ABC sont semblables [ (BC) // (MN) ]
d'où l'égalité des rapports
AM/AB = MN/BC
AM = x ; AB = 4 ; BC= 3
x / 4 = MN / 3
MN = (3/4)x
Aire du trapèze
la hauteur BM vaut 4 + x
S(x) = 1/2[ (3/4)x + 3][4 + x]
= 1/2[3x + (3/4)x² + 12 + 3x]
= 1/2 [ (3/4)x² + 6x + 12)
= (3/8)x² + 3x + 6
si l'on met 3/8 en facteur on trouve l'expression demandée
2) Résoudre l'équation S(x) = 27/2
(3/8)x² + 3x + 6 = 27/2
on multiplie les deux membres par 2
(3/4)x² + 6x + 12 = 27
(3/4)x² + 6x + 12 - 27 = 0
(3/4)x² + 6x - 15 = 0 (en multipliant par 4)
3x² + 24x - 60 = 0 (on divise par 3)
x² + 8x - 20 = 0
∆ = 144 ; l'équation a 2 racines x₁ = -10 et x₂= 2
x est une longueur donc un nombre positif, la solution -10 n'est pas acceptable
La valeur demandée est 2
