Réponse : Bonsoir,
3)a) Il y a deux points de contact, le premier d'abscisse [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] et l'ordonnée de ce point est [tex]e^{-\frac{\pi}{2}}[/tex]. Donc les coordonnées du premier point de contact sont [tex](\frac{\pi}{2};e^{-\frac{\pi}{2}})[/tex].
Le deuxième point de contact d'abscisse [tex]\frac{3\pi}{2}[/tex], et donc les coordonnées de ce deuxième point de contact sont [tex](\frac{3\pi}{2};e^{-\frac{3\pi}{2}})[/tex].
b) Calcul de l'équation de la tangente à [tex]\mathcal{C}[/tex] au point d'abscisse [tex]\frac{\pi}{2}[/tex]:
[tex](e^{-x})'_{x=\frac{\pi}{2}}(x-\frac{\pi}{2})+(e^{-x})_{x=\frac{\pi}{2}}=-e^{-\frac{\pi}{2}}(x-\frac{\pi}{2})+e^{-\frac{\pi}{2}}=-e^{-\frac{\pi}{2}}x+\frac{\pi}{2}e^{-\frac{\pi}{2}}+e^{-\frac{\pi}{2}}=-e^{-\frac{\pi}{2}}x+e^{-\frac{\pi}{2}}(\frac{\pi}{2}+1)[/tex].
Calcul de l'équation de la tangente à [tex]\Gamma[/tex] au point d'abscisse [tex]\frac{\pi}{2}[/tex]:
[tex]y=f'(\frac{\pi}{2})(x-\frac{\pi}{2})+f(\frac{\pi}{2})\\f'(x)=-e^{-x}\sin(x)+\cos(x)e^{-x}=e^{-x}(-\sin(x)+\cos(x))\\f'(\frac{\pi}{2})=e^{-\frac{\pi}{2}}(-\sin(\frac{\pi}{2})+\cos(\frac{\pi}{2}))=-e^{-\frac{\pi}{2}}\\f(\frac{\pi}{2})=e^{-\frac{\pi}{2}}\sin(\frac{\pi}{2})=e^{-\frac{\pi}{2}}\\y=-e^{-\frac{\pi}{2}}(x-\frac{\pi}{2})+e^{-\frac{\pi}{2}}\\y=-e^{-\frac{\pi}{2}}x+e^{-\frac{\pi}{2}}(\frac{\pi}{2}+1)[/tex].
Donc les deux tangentes sont égales.
Essayez de faire la même chose avec le point d'abscisse [tex]x=\frac{3\pi}{2}[/tex].
5)b) [tex]f'(x)[/tex] est du signe de [tex]\cos(x+\frac{\pi}{4})[/tex].
Sur [tex][0;2\pi][/tex], la fonction cosinus est négative sur l'intervalle [tex]]\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}[[/tex], donc [tex]\cos(x+\frac{\pi}{4}) <0[/tex] si:
[tex]\frac{\pi}{2} < x+\frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{2}[/tex].
On résout d'abord:
[tex]x+\frac{\pi}{4}> \frac{\pi}{2}\\x> \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\\x> \frac{\pi}{4}[/tex].
Puis:
[tex]x+\frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{2}\\x < \frac{6\pi}{4}-\frac{\pi}{4}\\x< \frac{5\pi}{4}[/tex].
En prenant l'intersection des solutions des deux inéquations précédentes, on obtient que [tex]\cos(x+\frac{\pi}{4}) \leq 0[/tex], si x [tex]\in[/tex] [tex]]\frac{\pi}{4};\frac{5\pi}{4}[[/tex].
Par complémentarité, [tex]\cos(x+\frac{\pi}{4}) >0[/tex], si [tex]x \in [0;\frac{\pi}{4}[\cup ]\frac{5\pi}{4};2\pi][/tex].
On en déduit que [tex]f[/tex] est croissante sur l'intervalle [tex][0;\frac{\pi}{4}[\cup]\frac{5\pi}{4};2\pi][/tex] et f est décroissante sur [tex]]\frac{\pi}{4};\frac{5\pi}{4}[[/tex].