Réponse :
1) à l'aide du graphique , déterminer les coefficients a, b et c tels qur
f(x) = a x² + b x + c
soit le sommet S de la parabole de coordonnées S(3 ; 7)
on peut donc écrire f(x) sous la forme canonique suivante:
f(x) = a(x - 3)²+ 7
= a(x² - 6 x + 9) + 7
= a x² - 6a x + 9 a + 7
sachant que f(0) = - 11 ⇒ c = - 11
⇒ b = - 6 a ⇒ b = - 6(-2) = 12
c = 9 a + 7 ⇒ - 11 = 9 a + 7 ⇒ 9 a = - 11 - 7 = - 18 ⇒ a = - 18/9 = - 2
Les coefficients a = - 2 ; b = 12 et c = - 11 donc f(x) = - 2 x² + 12 x - 11
2) on donne f(x) = - 2 x² + 12 x - 11
a) résoudre f(x) = - 1 Interpréter graphiquement le résultat obtenu
f(x) = - 1 = - 2 x² + 12 x - 11 ⇔ - 2 x² + 12 x - 10 = 0 ⇔ 2(- x² + 6 x - 5) = 0
⇔ (- x + 5)(x - 1) = 0 ⇒ x = 5 ; x = 1
Les points d'abscisses x = 1 ; x = 5 correspondent aux points d'intersection de la droite y = - 1 et la courbe C de f
b) résoudre f(x) ≤ 5
- 2 x² + 12 x - 11 ≤ 5 ⇔ - 2 x² + 12 x - 16 ≤ 0 ⇔ 2( - x² + 6 x - 8) ≤ 0
⇔ - x² + 6 x - 8 ≤ 0 ⇔ (- x + 4)(x - 2) ≤ 0
x - ∞ 2 4 + ∞
- x + 4 + + 0 -
x - 2 - 0 + +
f(x) - 0 + 0 -
l'ensemble des solutions de l'inéquation f(x) ≤ 5 est :
S = ]- ∞ ; 2] et [4 ; + ∞[
graphiquement ; on trace la droite y = 5 et les solutions de l'inéquation f(x) ≤ 5 correspondent à la courbe de f située en dessous de la droite
ex2
f(x) = x² - x - 1 définie sur R
1) calculer [f(2+h) - f(2)]/h où h ≠ 0
f(2+h) = (2+h)² - (2+h) - 1
= 4 + 4 h + h² - 2 - h - 1
= h² + 3 h + 1
f(2)= 4 - 2 - 1 = 1
[f(2+h) - f(2)]/h = (h² + 3 h + 1 - 1)/h = (h²+3 h)/h = h(h + 3)/h = h + 3
2) en déduire f ' (2)
f '(2) = lim (f(2+h) - f(2))/h = lim(h+3) = 3
h→0 h→0
Donc f '(2) = 3
Explications étape par étape
