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bonjour
j'ai un exercice de géométrie et je ne sais pas comment m'y prendre. voici l'énoncé :
ABCD est un parallélogramme.I et K sont les milieux respectifs des segments CD et AB. Les droites (AI) et (CK) coupent la droite (BD) respectivement en M et N.
En utilisant le repère (A; AB (flèche au dessus de AB), AD (flèche au dessus de AD), démontrer que le quadrilatère MINK est un parallélogramme.
Démontrer que DM=MN=NB (flèche au dessus de DM, MN, NB)
Reprendre la question précédente en utilisant des méthodes géométriques.
Merci pour votre aide

Sagot :

Maudmarine
1) Démontrer que le quadrilatère MINK est un parallélogramme
(A,AB,AD) = A(0 ; 0) ; B(1 ; 0) ; C(1 ; 1) ; D(0 ; 1) ; I((1/2 ; 1) ; K(1/2 ; 0) ; BD(-1 ; 1)
P(x ; y) appartient à (BD) ssi (y - 1) / (x - 0) = -1/1 = -1
                                        ssi y = -x + 1 
C'est l'équation de la droite (BD) dans (A,AB,AD)

AI(1/2;1)
P(x ; y) ∈ (AI) ssi y/x = 2
                      ssi y = 2x  
C'est l'équation de la droite (AI) dans (A,AB,AD)

CK(-1/2 ; -1)
P(x ; y) ∈ (CK) ssi (y - 1) / (x - 1) = 2
                        ssi y = 2x - 1  
C'est l'équation de la droite (CK) dans (A,AB,AD)
On va chercher l'intersection de la droite (BD) avec (AI) et (CK) pour déterminer les coordonnées de M et N
M =
y = -x + 1
y = 2x
Donc 2x = -x + 1
x = 1/3 et y = 2/3
AM = (1/3) AB + (2/3) AD

N = 
y = -x + 1
y = 2x - 1
Donc 2x - 1 = -x + 1
Donc x = 2/3 et y = -2/3 +1 = 1/3
AN = (2/3) AB + (1/3) AD

MI = AI - AM = (1/2) AB + AD - (1/3) AB - (2/3) AD = (1/6) AB + (1/3) AD
KN=AN-AK = (2/3) AB + (1/3) AD - 1/2 AB = (1/6) AB + (1/3) AD
Donc MI = KN

MIKN est donc un parallélogramme

2) Démontrer que DM = MN = NB
DM = AM - AD = (1/3) AB + (2/3) AD - AD = (1/3) AB - (1/2) AD = (1/3) (AB - AD) = (1/3) DB
MN = AN - AM = (2/3) AB + (1/3) AD - (1/3) AB - (2/3) AD = (1/3) AB - (1/3) AD =(1/3) (AB - AD) = (1/3) DB
NB = AB - AN = AB - (2/3) AB - (1/3) AD = (1/3) AB - (1/3) AD = (1/3) (AB - AD)
= (1/3) DB
Donc : DM = MN = NB = (1/3) DB

3) Reprendre la question précédente en utilisant des méthodes géométriques
D I =(1/2) DC = (1/2) AB    
DC = AB (ABCD est un parallélogramme) = AK        
AK = (1/2) AB car K est le milieu de [AB]
DI = IC  car I est le milieu de [DC]
Donc AK = IC et AKCI est un parallélogramme
(AI) // (KC)
Dans le triangle DCN les deux droites (MI) et (NC) sont parallèles et I est le milieu de [DC] donc M est le milieu de [DN]
Dans le triangle AMB  N est le milieu de [MB]

DM = MN et MN = NB
Soit
DM = MN = NB




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