Réponse :
Explications étape par étape
Voir fichiers joints
Exercice 1 :
D'accord avec les coordonnées :
[tex]\vec{AC}\quad:\quad(3;6)\\\vec{AB}\quad:\quad(9;-1)\\\Rightarrow\vec{AM}=\vec{AB}+\vec{AC}\quad:\quad(3+9;6-1)=(12;5)[/tex]
[tex]\vec{MN}=\vec{AB}-\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{CA}=\vec{CB}\quad:\quad(6;-7)\\[/tex]
2)
[tex]\vec{BN}=\vec{BM}+\vec{MN}\\\vec{BM}+\vec{AC}\\\vec{MN}=\vec{CB}\\\vec{BN}=\vec{AC}+\vec{CB}=\vec{AB}[/tex]
Le point B est bien le milieu du segment [AN]
Exercice 2 :
1) voir fichier joint
2)
[tex]\vec{AB}\quad:\quad(1-(-2);-3-3)=(3;-6)\Rightarrow AC=\sqrt{3^2+6^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\\[/tex]
[tex]\vec{BC}\quad:\quad(5-1;-1-(-3))=(4:2)\Rightarrow AC=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\\[/tex]
[tex]\vec{AC}\quad:\quad(5-(-2):-1-3)=(7;-4)\Rightarrow AC=\sqrt{7^2+4^2}=\sqrt{65}[/tex]
3)
On vérifie facilement que AC²=AB²+BC²
Par application de la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC es rectangle en B
4)
On sait donc que l'hypoténuse AC est un diamètre du cercle circonscrit au triangle Le centre K de ce cercles est le milieu du segment AC
A : (-2:3) et C : (5;-1) ==> K : ( (-2+5)/2 ; (3-1)/2 ) = (3/2;1)
5)
Le point D est diamétralement opposé au point B. On a donc
[tex]\vec{BK}=\vec{KD}\\[/tex]
Avec B : (1;-3) et K(3/2;1) on obtient D : ( 3/2+(3/2-1) ; 1+(1-(-3)) ) = (2;5)
