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CollègeMathématiques 14+4 pts


Bonjour j'ai besoin d'aide pour un devoir de math
Merci d'avance pour ceux qui m'aiderons :)

soit les fonctions f et g définis sur R par

f(x)=(3x-5)²-(-2x+1)² et g(x)=(x-4)²+(x-4)(x+5)

1) Montrer, en développant que f(x) et g(x) que f(x)=5x²-26x+24 et que g(x)=2x²-7x-4
celui la j'ai reussi
2)montrer en factorisant f(x) et g(x) que f(x)=(5x-6)(x-4) et que g(x)=(x-4)(2x+1)
3)a) determinez par un calcul les coordonnées des points d'intersection de la courbe g avec l'axe des abscises puis des ordones
b)determinez par un calcul les coordonnées des points d'intersection de la courbe f avec l'axe des abscises puis des ordones
c) montrer que g(x)=2(x-7sur4)²-81sur8. en deduire le minimum de g. Pour quelle valeur de x est il atteint
4)expliquez comment vousverifiez vos resultats en tracant les courbes f et g sur un graphique en vous aidant d'un tableau de valeurs
5)en utilisant le graphique faire le tableau de variations de la fonction g sur l'intervalle (-2;5)

merci bcp pour ceux qui auront la patience et les connaisances pour m'aider

Sagot :

Bonjour;

1)

f(x) = (3x - 5)² - (- 2x + 1)²

= 9x² - 2 * 5 * 3x + 5² - (4x² - 2 * 1 * 2x + 1)

= 9x² - 30x + 25 - (4x² - 4x + 1)

= 9x² - 30x + 25 - 4x² + 4x - 1

= 5x² - 26x + 24 .

g(x) = (x - 4)² + (x - 4)(x + 5)

= x² - 2 * 4 * x + 4² + x² + 5x - 4x - 20

= x² - 8x + 16 + x² + x - 20

= 2x² - 7x - 4 .

2)

f(x) = (3x - 5)² - (- 2x + 1)² : identité remarquable ;

= (3x - 5 - 2x + 1)(3x - 5 + 2x - 1)

= (x - 4)(5x - 6) .

g(x) = (x - 4)² + (x - 4)(x + 5) ;

= (x - 4)(x - 4) + (x - 4)(x + 5)

= (x - 4)(x - 4 + x + 5)

= (x - 4)(2x + 1) .

3)

a)

La courbe représentative de g coupe l'axe des abscisses aux points

d'ordonnée 0 ; donc on a :

g(x) = 0 ;

donc : (x - 4)(2x + 1) = 0 ;

donc : x - 4 = 0 ou 2x + 1 = 0 ;

donc : x = 4 ou 2x = - 1 ;

donc : x = 4 ou x = - 1/2 ;

donc les points d'intersection de la courbe représentative de g avec

l'axe des abscisses ont pour coordonnées : (4 ; 0) et (- 1/2 ; 0) .

La courbe représentative de g coupe l'axe des ordonnées au point

d'abscisse 0 ; donc le point d'ordonnée : g(0) = - 4 ; donc les

coordonnées de ce point sont : (0 ; - 4) .

b)

La courbe représentative de f coupe l'axe des abscisses aux points

d'ordonnée 0 ; donc on a :

f(x) = 0 ;

donc : (x - 4)(5x - 6) = 0 ;

donc : x - 4 = 0 et 5x - 6 = 0 ;

donc : x = 4 et 5x = 6 ;

donc : x = 4 et x = 6/5 ;

donc les points d'intersection de la courbe représentative de f avec

l'axe des abscisses ont pour coordonnées : (4 ; 0) et (6/5 ; 0) .

La courbe représentative de f coupe l'axe des ordonnées au point

d'abscisse 0 ; donc le point d'ordonnée : f(0) = 24 ; donc les

coordonnées de ce point sont : (0 ; 24) .

c)

g(x) = 2x² - 7x - 4 = 2(x² - 7/2 x) - 4 = 2(x² - 2 * 7/4 x + (7/4)² - (7/4)²) - 4

= 2(x² - 2 * 7/4 x + (7/4)²) - 2 * (7/4)² - 4

= 2(x - 7/4)² - 2 * 49/16 - 4 = 2(x - 7/4)² - 49/8 - 32/8

= 2(x - 7/4)² - 81/8 : c'est la forme canonique de g ;

donc puisque le coefficient de second degré est 2 > 0 ; donc g admet

un minimum qui est f(7/4) = - 81/8 .

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