Réponse : Bonjour,
Montrons par récurrence que [tex]w_{n}=\frac{11}{8}(\frac{1}{5})^{n}+\frac{5}{8}[/tex], pour tout [tex]n \geq 0[/tex].
Initialisation: Pour [tex]n=0[/tex], [tex]w_{0}=\frac{11}{8}(\frac{1}{5})^{0}+\frac{5}{8}=\frac{11}{8}+\frac{5}{8}=\frac{16}{8}=2[/tex].
La propriété est vérifiée à l'ordre [tex]n=0[/tex].
Hérédité: Supposons la propriété vraie à l'ordre [tex]n[/tex], c'est à dire que [tex]w_{n}=\frac{11}{8}(\frac{1}{5})^{n}+\frac{5}{8}[/tex], et montrons là à l'ordre [tex]n+1[/tex], que [tex]w_{n+1}=\frac{11}{8}(\frac{1}{5})^{n+1}+\frac{5}{8}[/tex].
On a:
[tex]w_{n+1}=\frac{1}{5}w_{n}+\frac{1}{2}=\frac{1}{5}(\frac{11}{8}(\frac{1}{5})^{n}+\frac{5}{8})+\frac{1}{2}=(\frac{1}{5})^{n+1}\frac{11}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{2}=\frac{11}{8}(\frac{1}{5})^{n+1}+\frac{1}{8}+\frac{4}{8}\\\\w_{n+1}=\frac{11}{8}(\frac{1}{5})^{n+1}+\frac{5}{8}[/tex].
[tex]w_{n+1}=\frac{11}{8}(\frac{1}{5})^{n+1}+\frac{5}{8}[/tex], donc la propriété est vérifiée à l'ordre [tex]n+1[/tex], donc pour tout [tex]n \geq 0, w_{n}=\frac{11}{8}(\frac{1}{5})^{n}+\frac{5}{8}[/tex].