Je pense qu'on peut démontrer pas à pas que le maximum s'obtient avec
9642 x 87531 en répartissant les chiffres les plus grands de part et d'autre du signe multiplié et le 1 en dernier... mais dans quel ordre ? c'est la difficulté !
A t-on le choix entre 9 fois 876 ou 976 fois 8 ou encore 96 fois 87 ou alors 97 fois 86.
Pour la première hypothèse, j'ai constaté qu'ajouter le 6 après 87 n'agrandit le produit que très peu alors que le mettre après le 9 le fait grandir beaucoup +
Il en va de même pour le seconde hypothèse envisagée : ajouter le 6 après 97 n'a pas beaucoup d'effet sur le produit qui grandit très peu, alors que le mettre après le 8 agrandit le produit beaucoup +
On peut ainsi en déduire que pour faire s'accroître le produit au maximum il est nécessaire de faire grandir les deux nombres simultanément (dans le même ordre).
Pour distinguer les 2 hypothèses restantes : on prend un exemple par similitude pour mieux comprendre
On sait que "à périmètre égal" l'aire d'un rectangle est maximale quand les cotés sont égaux.
Donc on prendra 96 fois 87 car ces 2 nombres sont plus proches entre eux que 97 et 86.
De la même manière on ajoute 4 et 5 de manière à ce que les 2 nombres se rapprochent : 964 fois 875
pour placer 2 et 3:
9642 fois 8753.
Il reste maintenant le 1 à placer.
- si on multiplie 96421 par 8753 on obtient 9642 x 10 x 8753 + 8753 (résultante de la multiplication par 1)
et on obtient 843 973 013.
-si on multiplie 9642 par 87531 on obtient 9642 x 10 x 8753 + 9642 (résultante de la multiplication par 1)
et on obtient 843 973 902.
C'est pourquoi la répartition de la dernière hypothèse, est à mon avis, le plus grand produit que l'on peut obtenir avec les chiffres de l'énoncé.
