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Lolipops1261
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Bonsoir à tous ! voici mon dm de maths sur les nombres complexes niveau Ts que je dois rendre demain ... si quelqu'un peut m'aider en détaillant et expliquant bien chaques questions pour que je comprennes merci bcp ! exercice 3 ​

Bonsoir À Tous Voici Mon Dm De Maths Sur Les Nombres Complexes Niveau Ts Que Je Dois Rendre Demain Si Quelquun Peut Maider En Détaillant Et Expliquant Bien Chaq class=

Sagot :

Réponse :

(E)=z³+3z²+4z-8

Explications étape par étape

on note que z=1 est solution de E=0 donc E=(z-1)(az²+bz+c)

Pour déterminer les coef "a" , "b" et "c" soit :

*tu effectues la division euclidienne (z³+3z²+4z-8) par(z-1) et tu trouves un quotient q=z²+4z+8 et un reste=0

* tu développes et réduis le produit (z-1)(az²+bz+c)  puis tu compares les coefficients avec ceux de l'expression initiale de E .

(je préfère la division car pour moi c'est plus rapide)

2) les solutions de E=0 sont donc z1=1

et celles de z²+4z+8=0

delta=16-32=-16 ;  delta est <0 donc deux solutions complexes z2=(-4-4i)/2 =-2-2i  et z3=-2+2i

z1, z2, et z3 sont les affixes des points A, B et C de la question suivantes.

3) positionne ces points sur ton repère

4)A appartient à l'axe des abscisses C est le conjugué de B à priori ABC est isocèle en A

AB²=(xB-xA)²+(yB-yA)²=13   AB=+V13

de même AC=V13

quand à BC=4

ABC est bien isocèle en A

5) Iz+2+2iI=Iz-1I

posons z=a+ib

Z1=a+ib+2+2i =(a+2)+i(b+2)             et Z2=a+ib-1=(a-1)+ib

IZ1I²=(a+2)²+(b+2)² =a²+4a+4+b²+4b+4

 et IZ2I²=(a-1)²+b²=a²-2a+1+b²

IZ1²I=IZ2I² si 4a+4b+8=-2a+1 soit 6a+4b+7=0 ceci est l'équation cartésienne d'une droite

6)Z=(z-1)/(z+2+2i) posons z=a+ib

Z=(a+ib-1)/(a+ib+2+2i)=[(a-1)+ib]/[(a+2)+i(b+2)]

Multiplions par le conjugué

Z=[(a-1)+ib]*[(a+2)-i(b+2)] /D   (D est une valeur réelle différente de 0 pour simplifier les calculs je garde D car les calculs ne servent à rien pour la suite)

Z=(a-1)(a+2)+b(b+2)+i[b(a+2)-(b+2)(a-1)]/D

Z est imaginaire pur si la partie réelle =0

donc si (a-1)(a+2)+b(b+2)=0   soit a²-a+2a-2+b²+2b=0

a²+b²+a+2b-2=0  ceci est l'équation d'un cercle .

Vérifie mes calculs et détermine le centre et le rayon de ce cercle.

Croisierfamily

Réponse :

Explications étape par étape

■ z³ + 3z² + 4z - 8 = 0 donne (z-1) (z² + bz + 8) = 0 .

■ 1°)   (z-1) (z² + bz + 8) --> développons

            --> z³ + (b-1)z² + (8-b)z - 8

           --> par identification, on trouve b = 4 .

          conclusion : (z-1) (z² + 4z + 8) .

■ 2°) solutions :

       Zo = 1 ; cherchons les solutions complexes :

       Δ = b²-4ac = 16-32 = -16 = (4i)²

        d' où les solutions complexes :

         Z1 = (-4 - 4i)/2 = -2-2i ; Z2 = -2+2i .

■ 4°) il est évident que le triangle ABC est isocèle en A

         puisque les points B et C sont symétriques

          par rapport à l' axe des abscisses,

           et le point A appartient à cet axe des x .

■ 5°) on nous demande en fait l' Ensemble des points

         situés à égale distance des points A et B

          --> l' Ensemble cherché est donc la médiatrice

                                                        du segment [ AB ] .

        comme l' affixe du milieu de [ AB ] est -0,5 - i ;

         et comme l' équation de la droite (AB) est y = (2/3)x - (2/3)

           --> équation de la Médiatrice de [ AB ] est y = -1,5x - 1,75 .

■ 6°) on veut maintenant (z-1) / (z+2+2i) imaginaire PUR :

        (a-1 + ib) / ( a+2 + i(b+2) )

          = (a-1 + ib) * ( a+2 - i(b+2) ) / [ (a+2)²+(b+2)² ]

          = [ (a²+a-2+b²+2b) + i(ab+2b-ab-2a+b+2) ] / dénom

          = [ (a²+a-2+b²+2b) + i(3b-2a+2) ] / dénom

        on exige donc : a²+a-2+b²+2b = 0   ET   2a ≠ 3b+2

                                (a+0,5)² + (b+1)² = 3,25   ET a ≠ 1,5b+1

      la Solution F cherchée est donc un Cercle

        de Centre le milieu de [ AB ]

          et de Rayon = √(13/4) ≈ 1,8 .  

       il faudra penser à retirer les 2 points correspondants

         à (a = 1 ; b = 0) et (a = -2 ; b = -2) .

       vérif avec a = b = 0,5 :

         --> (z-1) / (z+2+2i) = 2,5i / 12,5 = i/5

                 qui est bien un imaginaire PUR !

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