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Réponse :
Félicitations pour votre courage pour vous replonger dans les études de ce niveau..
On commence par dériver f : f'(x) = 2*x + 1.
Soit a un réel.
L'équation de la tangente en a est y = f'(a)(x-a) + f(a) = f'(a)*x - a*f'(a) + f(a).
f'(a) = 2*a + 1 et f(a) = a² + a + 1, donc y = f'(a)*x -a(2a+ 1)+a²+a+1.
Pour x = 0, on a donc à résoudre -2a² - a + a² + a + 1 = - 1 ⇔ - a² + 2 = 0 ⇔ a² = 2 ⇔ a = - √2 ou a = √2.
Donc la réponse est oui : il en existe deux :
une d'équation y1 = (-2√2 + 1)x - 1,
l'autre d'équation y2 = (2√2 + 1)x - 1. (Je vous laisse refaire les calculs..)
Explications étape par étape
Merci de poser des questiolns si quelque chose n'est pas clair..