Réponse :
Explications étape par étape
La dérivée première de f(x) est : f'(x) = 3x²- 6x + 3
1) Cette dérivée est définie pour tout réel x, la tangente a donc toujours un coefficient directeur défini.
2) a) f'(x) = 0 devient : 3x² - 6x + 3 = 0
mettre 3 en évidence, on a : 3 ( x² -2x +1 ) = 0, soit 3 ( x - 1 )² = 0 qui a une seule solution x = 1.
b) Le point de la courbe d'abscisse 1 a une tangente dont le coefficient directeur est égale à 0, la tangente est donc horizontale.
3) les points d'abscisse x ou les tangentes ont un coefficient directeur égal à 3 sont ceux où f'(x) = 3, soit :
3x² - 6x + 3 = 3
3x² - 6x = 0
3 x ( x - 2 ) = 0
il existe deux solutions, x = 0 et x = 2
4) le coefficient directeur de y = cx + d est le paramètre c, il faut donc que f'(x) = c, c'est à dire :
3x² - 6x + 3 = c
3x² - 6x + ( 3 - c ) = 0
Il s'agit d'une équation du second degré en x, pour qu'il y ait une solution, il faut que le discriminant (delta) soit positif ou nul.
Ce discriminant vaut : 6² - 4 . 3 . ( 3 - c ) =
36 - 12 ( 3 - c ) =
12 [ 3 - ( 3 - c ) ] =
12 c
Pour que ce discriminant soit positif ou nul, il faut et il suffit que le paramètre c soit positif ou nul.
Toutes les tangentes à la courbe seront donc soit horizontales soit croissantes.
J'espère t'avoir aidé...
