1) Tu calcules en remplacant Un par 1 pour U₁ et par 2 pour U₂. Ca donne :
U₁ = 3 et U₂ = 10
2)a. Initialisation : pour n = 0 on a U₀ = 0 donc P₀ est vérifiée,
Hérédité : soit n≥0, on suppose que Pn est vérifiée, soit Un ≥ n
Alors : Un ≥ n
3 x Un ≥ 3 x n
3Un - 2n ≥ 3n - 2n
3Un - 2n ≥ n
3 Un - 2n + 3 ≥ n + 3
Un+1 ≥ n + 3
On a alors Un+1 ≥ (n + 1) + 2 ≥ n + 1 donc Un+1 donc Pn+1 est vérifiée.
conclusion Pour tout n entier, Un ≥ n
b. Par comparaison des limites on obtient [tex] \lim_{Un =} + \infty[/tex]
3) Pour tout n entier, Un+1 - Un = (3Un - 2n + 3) - Un
Un+1 - Un = 2Un - 2n + 3
Un+1 - Un = 2(Un - n) + 3 or Un ≥ n soit Un - n ≥ 0
On a donc Un+1 pour tout n entier et la suite est strictement croissante.
4) a, Pour tout n entier,
Vn+1 = Un+1 - (n+1) + 1
Vn+1 = Un+1 - n
Vn+1 = Un+1 - 3n + 3 car Un+1 - 3Un - 2n + 3
Vn+1 = 3( Vn + n - 1) - 3n + 3 car Un = Vn + n - 1
Vn+1 = 3Vn
Donc la suite est géométrique et de raison 3, de premier terme V₀ = 1 soit : Vn = 3^n
b. Pour tout n entier, Un = Vn + n - 1 ce qui donne Un = 3^n + n - 1
