Réponse : Bonsoir,
1) On note [tex]L[/tex] la longueur du rectangle, on a:
[tex]A=L \times l \Rightarrow L=\frac{A}{l}\\P(l)=2(L+l)=2(\frac{A}{l}+l)=2l+\frac{2A}{l}[/tex].
2) On calcule la dérivée [tex]P'(l)[/tex]:
[tex]P'(l)=2+2A(-\frac{1}{l^{2}})=2-\frac{2A}{l^{2}}=\frac{2l^{2}-2A}{l^{2}}=\frac{2(l^{2}-A)}{l^{2}}=\frac{2(l-\sqrt{A})(l+\sqrt{A})}{l^{2}}[/tex].
[tex]l^{2}>0[/tex], car un carré est toujours positif, donc [tex]P'(l)[/tex] est du signe de [tex](l-\sqrt{A})(l+\sqrt{A})[/tex].
Ce polynôme du second degré, a un discriminant supérieur à 0, car il a deux racines [tex]-\sqrt{A}[/tex] et [tex]\sqrt{A}[/tex]. Donc d'après les règles sur le signe d'un polynôme du second degré, on a le tableau suivant:
l 0 [tex]\sqrt{A}[/tex] +∞
P'(l) - Ф +
P(là (décroissant) [tex]P(\sqrt{A})[/tex] (croissant)
Donc pour [tex]l=\sqrt{A}[/tex], le périmètre P est minimal.
3) P est minimal si :
[tex]l=\sqrt{A} \Leftrightarrow l^{2}=A \Leftrightarrow l^{2}=L \times l \Leftrightarrow l=L[/tex].
Donc le périmètre du rectangle est minimal si la longueur du rectangle est égal à la largeur du rectangle, donc dans le cas où le rectangle est un carré.
