Réponse : Bonsoir,
a) Une équation de la tangente [tex]T_{a}[/tex] à C au point M est:
[tex]y=f'(a)(x-a)+f(a)\\f'(a)=-\frac{1}{a^{2}}\\donc \; y=-\frac{1}{a^{2}}(x-a)+\frac{1}{a}=-\frac{1}{a^{2}}x+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}=-\frac{1}{a^{2}}x+\frac{2}{a}[/tex].
b) La droite [tex]T_{a}[/tex] coupe l'axe des abscisses en A, donc:
[tex]-\frac{1}{a^{2}}x+\frac{2}{a}=0\\-\frac{1}{a^{2}}x=-\frac{2}{a}\\\frac{1}{a^{2}}x=\frac{2}{a}\\x=\frac{\frac{2}{a}}{\frac{1}{a^{2}}}=\frac{2}{a} \times \frac{a^{2}}{1}=2a[/tex].
Donc le point A a pour coordonnées [tex]A(2a;0)[/tex].
La droite [tex]T_{a}[/tex] coupe l'axe des ordonnées en B, donc:
[tex]-\frac{1}{a^{2}} \times 0+\frac{2}{a}=\frac{2}{a}[/tex].
Donc le point B a pour coordonnées [tex]B(0;\frac{2}{a})[/tex].
Donc le milieu du segment [AB] a pour coordonnées:
[tex](\frac{2a+0}{2};\frac{0+\frac{2}{a}}{2})=(a;\frac{2}{a} \times \frac{1}{2})=(a;\frac{1}{a})[/tex].
Or puisque [tex]M \in C[/tex], [tex]M(a;\frac{1}{a})[/tex], donc M est le milieu du segment [AB]