Réponse : Bonjour,
Pour étudier les variations de la suite [tex](b_{n})[/tex], il faut considérer la fonction [tex]f(x)=\frac{x}{2}+\frac{2}{x}[/tex].
On calcule la dérivée [tex]f'(x)[/tex]:
[tex]f'(x)=\frac{1}{2}+2 \times -\frac{1}{x^{2}}=\frac{1}{2}-\frac{2}{x^{2}}=\frac{x^{2}-4}{2x^{2}}=\frac{(x-2)(x+2)}{2x^{2}}[/tex].
[tex]f'(x)[/tex] est du signe du numérateur, car [tex]2x^{2}>0[/tex] sur [tex]\mathbb{R}^{*}[/tex].
On rappelle que l'on travaille sur [tex]\mathbb{R}_{+}^{*}[/tex], car l'indice [tex]n[/tex] est un entier strictement positif.
Donc:
x 0 2 +∞
x-2 - Ф +
x+2 + +
f'(x) ║ - Ф +
f(x) ║ (décroissant) (croissant)
On en déduit donc que pour [tex]n[/tex] compris entre 1 et 2, la suite [tex](b_{n})[/tex] est décroissante, puis pour [tex]n>2[/tex], la suite [tex](b_{n})[/tex] est croissante.
