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Kevin0513
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Bonjour tout le monde. J'aimerais avoir sur un exercice de mon DM de Math. J'essais de retourner de tous les sens l'exercice je ne le comprend pas contrairement au autres. Donc j'aimerais avoir un peu d'aide. Merci d'avance pour vos réponses.



Exercice :

Nous sommes pendant un match de Rugby, rêvons un peu ! Essai pour la France :

Les points A et B délimitent le but d’un camp. Le joueur M est placé le long de la ligne de touche [OC] située du côté de A, veut transformer l’essai. C’est-à-dire que le ballon doit passer entre les deux poteaux A et B.

La distance OA est de 37, 3 m, la distance OC est de 100 m. La distance AB est de 42,9 m.

On note par x la distance OM exprimée en mètres, et α;β et θ,les mesures respectives des angles géométriques (OMA)̂ ; (OMB)̂ et (AMB) exprimées en radians

Pour se donner le plus de chances de réussir, on se propose de chercher pour quelle position de M, l’angle θ, sous le quel le joueur voit le but [AB] est maximal.

1°) Déterminer à quel intervalle appartient x.

2°) Exprimer tan(α) et tan(β)en fonction de x.

On admet que pour tout nombre réel α et β on a

tan(α-β)=(tan(β)-tan(α))/(1+tan(α)× tan(β))

3°) Démontrer que tan(θ)=5,6x/(x^2+1600,17) .

4°) Etudier les variations de la fonction f définie sur [ 0 ; 100] par f(x)=5,6x/(x^2+1600,17) .

5°) Démontrer que f admet un maximum, on précisera la valeur de x , en déduire la valeur de θ correspondante ( on admet alors que θ est maximal ).

​

Sagot :

Croisierfamily

Réponse :

la fonction f admet bien un maximum

          pour x voisin de 40 mètres, angle Têta ≈ 4° .

Explications étape par étape :

■ le terrain de rugby à XV fait 100 mètres de long ;

  son coin s' appelle O ; les poteaux s' appellent A et B ;

  M appartient à la ligne de touche OC ( du côté de A ) .

  OA = 37,3 mètres ; OB = 42,9 m ; AB = 5,6 mètres ♥ .

■ 1°) 0 < x < 100 mètres .

■ 2°) tanâ = 37,3/x ; tanb = 42,9/x .

■ 3°) tanT = (tanb - tanâ) / (1 + tanâ * tanb)  

                 = (5,6/x) / (1 + 1600,17/x²)

       multiplions par x² le numérateur et le dénominateur :

       tanT = 5,6x / (x² + 1600,17) = f(x) .

■ 4°) f ' (x) = [ 5,6(x²+1600,17) - 5,6x*2x ] / (x²+1600,17)²

                = 5,6 [ x²+1600,17 - 2x² ] / (x²+1600,17)²

                = 5,6 [ 1600,17 - x² ] / (x²+1600,17)²

        cette dérivée est nulle pour x² = 1600,17

                                             --> x ≈ 40 mètres !

       tableau :

         x -->       0             40               100

     f ' (x) -> 0,0035   +    0     -     -0,00035

       f(x) -->      0            0,07            0,05

■ 5°) la fonction f admet bien un maximum

          pour x voisin de 40 mètres,

            donc reste à résoudre tanT = 0,07 :

                                 T ≈ 4° .

■ vérif avec x = 40 mètres :

   tanâ = 37,3/40 = 0,9325 ( donc â ≈ 43° ) ;

   tanb = 1,0725 ( donc angle bêta ≈ 47° )

     --> tanT ≈ 0,14/ (1+1) ≈ 0,07 .

     --> ( et angle Têta = b - â = 47 - 43 = 4° ) .

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