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Bonsoir à tous,

Exercice 1:

1. Dans un repère orthonormé (O,I,J), placer les points M(2;2), N(-1;-1) et P(5.5;5.5). Que constate-t-on ? (Celle là je l'ai faîtes donc aucun problème)
2. Tracer la droite pour laquelle tous les points ont l'abscisse égale à l'ordonnée. On note d cette droite.
Les mathématiciens ont l'habitude de l'appeler première bissectrice.
3. a. Soient A(2;3) et B(3;2). Placer ces points sur la figure. Que remarque-t-on ?
3. b. Faire de même avec les points C(-1;4) et D(4;-1).
Pour la question 3, ceux que j'ai mis c'est que cela forme un parallélogramme, il me semble.
4. L'objectif de cette question est de démontrer que, si deux points A(xa;ya) et B(xb;yb) sont symétriques par rapport à la droite d, alors leurs coordonnées sont échangées c'est à dire que xa = yb et xb = ya.
A. Si A et B sont symétriques par rapport à la droite d, que peut-on dire du milieu H du segment [AB] ? Prouver qu'alors on a xa + xb = ya + yb
B. Si A et B son symétriques par rapport à la droite d, que peut-on dire des longueurs OA et OB ? Prouver qu'alors on a xa²-xb²=yb²-ya²
C. En utilisant deux relations obtenues aux questions a et b, démontrer que xa = yb et xb = ya.

Ex 2:

Dans un repère, on donne les droites suivantes.

d1 : y = 2x-4, d2 : y = -3/2x + 13/2 et d3 : y = 1/4x -9/4.

Ces trois droites déterminent un triangle ABC.
Déterminer les coordonnées des points A, B et C.

Merci à tous ceux qui m'aideront, bonne soirée à vous.

Sagot :

Réponse : Bonsoir,

Je vous fais l'exercice 1, à partir de la question 3.

3)a) Les points A(2;3) et B(3;2) sont symétriques par rapport à d, la première bissectrice d'équation y=x.

b) Les points C(-1;4) et D(4;-1) sont aussi symétriques par rapport à d.

4)a) Si A et B sont symétriques par rapport à d, alors le milieu H du segment [AB], se situe sur la droite d.

Et les coordonnées [tex]H(x_{H};y_{H})[/tex] sont:

[tex]x_{H}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2} \quad y_{H}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}[/tex].

Comme [tex]H \in d[/tex], alors [tex]x_{H}=y_{H}[/tex], donc:

[tex]x_{H}=y_{H}\\\frac{x_{A}+x_{B}}{2}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\\2 \frac{x_{A}+x_{B}}{2}=2 \frac{y_{A}+y_{B}}{2} \quad On \; multiplie \; par \; 2 \; a \; gauche \; et \; a \; droite\\x_{A}+x_{B}=y_{A}+y_{B}[/tex].

b) Si A et B sont symétriques par rapport à d, alors OA=OB.

D'où:

[tex]OA=OB\\\sqrt{(x_{A}-x_{O})^{2}+(y_{A}-y_{O})^{2}}=\sqrt{(x_{B}-x_{O})^{2}+(y_{B}-y_{O})^{2}}\\(\sqrt{(x_{A}-x_{O})^{2}+(y_{A}-y_{O})^{2}})^{2}=(\sqrt{(x_{B}-x_{O})^{2}+(y_{B}-y_{O})^{2}})^{2}\\(x_{A}-x_{O})^{2}+(y_{A}-y_{O})^{2}=(x_{B}-x_{O})^{2}+(y_{B}-y_{O})^{2}\\(x_{A}-0)^{2}+(y_{A}-0)^{2}=(x_{B}-0)^{2}+(y_{B}-0)^{2}\\x_{A}^{2}+y_{A}^{2}=x_{B}^{2}+y_{B}^{2}\\x_{A}^{2}-x_{B}^{2}=y_{B}^{2}-y_{A}^{2}[/tex].

c) On a:

[tex]x_{A}^{2}-x_{B}^{2}=(x_{A}-x_{B})(x_{A}+x_{B})\\y_{B}^{2}-y_{A}^{2}=(y_{B}-y_{A})(y_{B}+y_{A})\\Donc \; (x_{A}-x_{B})(x_{A}+x_{B})=(y_{B}-y_{A})(y_{B}+y_{A})\\Or \; x_{A}+x_{B}=y_{A}+y_{B}, \; donc \; on \; a:\\(x_{A}-x_{B})(y_{A}+y_{B})=(y_{B}-y_{A})(y_{B}+y_{A})\\x_{A}-x_{B}=y_{B}-y_{A}[/tex].

On a donc les relations suivantes:

[tex]x_{A}+x_{B}=y_{A}+y_{B}\\x_{A}-x_{B}=y_{B}-y_{A}\\[/tex]

On additionne la première et la deuxième équation:

[tex]x_{A}+x_{B}+x_{A}-x_{B}=y_{A}+y_{B}+y_{B}-y_{A}\\2x_{A}=2y_{B}\\x_{A}=y_{B}[/tex].

En remplaçant [tex]x_{A}=y_{B}[/tex], dans la première équation:

[tex]x_{A}+x_{B}=y_{A}+y_{B}\\y_{B}+x_{B}=y_{A}+y_{B}\\y_{B}-y_{B}+x_{B}=y_{A}\\x_{B}=y_{A}[/tex].

On a donc que si A et B sont symétriques par rapport à d, alors [tex]x_{A}=y_{B}[/tex], et [tex]x_{B}=y_{A}[/tex].

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