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Dans un repère orthonorme du plan on donne les points : A (1, 5 ; 3) B (-2; 2, 5) C-1, 5;-1) et D (2;-0, 5)
1- calcul les coordonnées des vecteurs AB et CD
2-Calcul les longueur AB et BD puis montre que AB =5racine carre 2/2
3- calcul les coordonnées du milieu I du segment [AC]
4-Dans cette question on admet que BC =5racine carré 2/2 et que AC =5 justifie soigneusement que ABCD est un carré

Sagot :

1) Les coordonnées du vecteur AB sont données par (Xb-Xa;Yb-Ya)
Donc AB : ((-2-1,5);(2,5-3) soit AB : (-3,5 ; -0,5)
De même CD : (2-(-1,5) ; -0,5-(-1)) soit CD : (3,5 ; 0,5)
On note au passage que AB=-CD (en notation vecteur)
2) La longueur de AB est donnée par Racine((Xb-Xa)²+(Yb-Ya)²)
=Racine(3,5²+0,5²)=racine(50/4)=5Racine(2)/2
BD=Racine((Xd-Xb)²+(Yd-Yb)²)=Racine((2-(-2))²+(-0,5-2,5)²)=Racine(16+9)=Racine25=5
3) Les coordonnées de I sont données par (Xa+Xc)/2 ; (Ya+Yc)/2
Soit I : ((1,5-1,5)/2 ; (3-1)/2) soit I : (0;1)
4) AB²=50/4
BC²=25*2/4=50/4
Donc AB²+BC²=25=AC² donc par la réciproque de Pythagore on sait que AB et BC sont perpendiculaire.
Comme AB=DC (D'après le 1), ABCD est un parallélogramme.
Comme il comporte un angle droit (D'après le 4) c'est un rectangle
Comme AB=BC et que BD = AC c'est un carré.

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