Bonsoir,
1) AB = x + 3
BC = y + 3 + 3 = y + 6
CD = x + 3
L = (x + 3) + (y + 6) + (x + 3)
L = 2x + 12 + y
L'aire de jeu est l'aire d'un rectangle de dimension x et y.
Cette aire est égale à 450 (m²)
Donc [tex]x\times y=450\\\\y=\dfrac{450}{x}[/tex]
Par conséquent : [tex]L=2x+12+\dfrac{450}{x}[/tex]
2) Graphique en pièce jointe
a) Selon le graphique, on peut conjecturer le tableau suivant :
[tex]\begin{array}{|c|ccccc||}x&10&&15&&45\\f(x)&77&\searrow&72&\nearrow&112 \\\end{array}[/tex]
b) [tex]f(x)-72=(2x+12+\dfrac{450}{x})-72\\\\f(x)-72=2x-60+\dfrac{450}{x}\\\\f(x)-72=\dfrac{2x^2-60x+450}{x}[/tex]
[tex]\dfrac{2(x-15)^2}{x}=\dfrac{2(x^2 - 30x + 225)}{x}\dfrac{2(x-15)^2}{x}=\dfrac{2x^2 - 60x + 450}{x}[/tex]
D'où [tex]f(x)-72=\dfrac{2(x-15)^2}{x}[/tex]
c) Etudions le signe de [tex]\dfrac{2(x-15)^2}{x}[/tex]
2 > 0
(x - 15)² ≥ 0 car un carré n'est jamais négatif.
x > 0 car x ∈ [10 ; 45]
Donc [tex]\dfrac{2(x-15)^2}{x}\ge0[/tex]
Nous en déduisons : f(x) - 72 ≥ 0
f(x) ≥ 72.
Les longueurs f(x) de la clôture sont supérieures ou égales à 72.
La fonction f admet un minimum égal à 72.
Or [tex]f(15)=2\times15+12+\dfrac{450}{15}\\\\f(15)=30+12+30\\\\f(15)=72.[/tex]
La longueur minimale sera atteinte par x = 15.
Par conséquent, la longueur de la clôture sera la plus petite possible si x = 15 et y = 450/15 = 30.
Pour que la longueur de la clôture soit minimale, il faut que les dimensions de l'aire de jeu soient : 15 m de largeur sur 30 m de longueur.
La longueur de la clôture sera égale à 72 m.
