Réponse : Bonjour,
1) [tex]\overrightarrow{AB}(-3-1;5-2)=(-4;3)[/tex].
2)a) [tex]\overrightarrow{AM}(x-1;y-2)\\k \overrightarrow{AB}(-4k;3k)[/tex].
Donc [tex]\overrightarrow{AM}=k \overrightarrow{AB}[/tex] équivaut à :
[tex]\left \{ {{x-1=-4k} \atop {y-2=3k}} \right \Leftrightarrow \left \{ {{x=1-4k} \atop {y=3k+2}} \right.[/tex].
b) De la première équation du système d'équations précédent, on obtient:
[tex]x=1-4k\\4k=1-x\\k=\frac{1-x}{4}[/tex].
De la deuxième équation du système, on obtient:
[tex]y=3k+2\\3k=y-2\\k=\frac{y-2}{3}[/tex].
On a donc deux expressions d'un même réel [tex]k[/tex], donc:
[tex]\frac{1-x}{4}=\frac{y-2}{3}\\Or \;\frac{1-x}{4}=\frac{-(1-x)}{-4}=\frac{x-1}{-4}\\Donc \; \frac{x-1}{-4}=\frac{y-2}{3}[/tex].
c) On a:
[tex]\frac{x-1}{-4}=\frac{y-2}{3}\\3(x-1)=-4(y-2)\\3x-3=-4y+8\\4y=-3x+3+8\\4y=-3x+11\\y=-\frac{3}{4}x+\frac{11}{4}[/tex].
d) Cette équation est l'équation d'une fonction affine, donc d'une droite.