Réponse :
Un+1 = 0.9Un + 90
U0 = 1000
1) calculer U1 et U2
U1 = 0.9 x U0 + 90
= 0.9 x 1000 + 90 = 990
U2 = 0.9U1 + 90
= 0.9 x 990 + 90 = 981
2) Vn = Un - 900
a) calculer V0 et V1
V0 = U0 - 900
= 1000 - 900 = 100
V1 = U1 - 900
= 990 - 900 = 90
b) montrer que pour tout n
Vn+1 = 0.9Vn
Vn+1 = Un+1 - 900
= 0.9Un + 90 - 900
= 0.9Un - 810
or Vn = Un - 900 ⇒ Un = Vn + 900
Vn+1 = 0.9(Vn+90) - 810
= 0.9Vn + 810 - 810
= 0.9Vn
c) Vn est une suite géométrique de raison q = 0.9 et de premier terme V0 = 100
Donc Vn = V0 x qⁿ
= 100 x (0.9)ⁿ
3) en déduire pour tout n Un = 100 x (0.9)ⁿ + 900
Vn = Un - 900 ⇒ Un = Vn + 900
= 100 x (0.9)ⁿ + 900
4) lorsque n tend vers + ∞ (0.9)ⁿ tend vers 0
et Un = 900
A partir de quel nombre entier n a t-on Un ≤ 901
100 x (0.9)ⁿ + 900 ≤ 901 ⇔ 100 x (0.9)ⁿ ≤ 1 ⇔ (0.9)ⁿ ≤ 1/100
nln(0.9) ≤ ln(0.01) ⇒ n ≤ ln(0.01)/ln(0.9) ⇒ n ≥ 43
Explications étape par étape
