Exercice 1 :
a) f(x) est en trois parties :
sur [-3;-2] f(x) = 1.
sur [-2;0] f(x) est une fonction affine f(x) = ax+b :
Avec les points de coordonnées (-1;2) et (0;3) on a que a = (3-2)/ (0-(-1))=1
Donc f(x) = x+b.
comme f(0)=3 alors b=3.
Donc sur [-2;0] f(x) = x+3.
sur [0;3] f(x) est représenté par un quart de cercle de rayon 3 et de centre (0;0).
L'aire du cercle complet est [tex]9\pi[/tex] donc pour un quart de cercle on a : [tex]\frac{9}{4}\pi[/tex]
Ce qui donne :[tex]\int\limits^3_{-3} {f(x)} \, dx = \int\limits^{-2}_{-3} {f(x)} \, dx + \int\limits^0_{-2} {f(x)} \, dx + \int\limits^3_0 {f(x)} \, dx\\=\int\limits^{-2}_{-3} {1} \, dx + \int\limits^0_{-2} {(x+3)} \, dx + \frac{9}{4}\pi\\=1 * (-2 - (-3)) + (\frac{0^{2}}{2} + 3 * 0) - (\frac{(-2)^{2}}{2} + 3 * -2) + \frac{9}{4}\pi\\= 1 + 4 + \frac{9}{4}\pi\\= 5 + \frac{9}{4}\pi[/tex]
b) La valeur moyenne de f sur [-3;3] est donnée par :
[tex]\frac{1}{3-(-3)}\int\limits^3_{-3} {f(x)} \, dx =\frac{1}{6}* (5 + \frac{9}{4}\pi)\\=\frac{5}{6} + \frac{3}{8}\pi\\= 2,0114[/tex]
Ainsi pour tracer le rectangle il faut tracer les 4 droites d'équation x=-3, x=3, y=0 et y=2.
Exercice 2 :
1) Sur l'intervalle [0;[tex]\frac{\pi}{2}[/tex]], la fonction cos est positive donc ∀ n ∈ N* [tex]cos^{n}[/tex] est positive et ainsi In >0.
2) On a :
t > 0
2t > 0
Donc :
2t + 1 > 1
donc en divisant 2t par 2t+1 on a que
[tex]\frac{2t}{2t+1}>0[/tex]
[tex]\int\limits^\frac{1}{2}_0 {\frac{2t}{2t+1}} \, dt > \int\limits^\frac{1}{2}_0 {0} \, dt\\I > 0 * (\frac{1}{2} - 0)\\I > 0[/tex]
D'autre part :
1 > 0
2t +1 > 2t
[tex]1>\frac{2t}{2t+1}[/tex]
[tex]\int\limits^\frac{1}{2}_0 {1} \, dt > \int\limits^\frac{1}{2}_0 {\frac{2t}{2t+1}} \, dt\\I 1 * (\frac{1}{2} - 0)>I\\\frac{1}{2} > I[/tex]
Donc on a bien 0 < I < \frac{1}{2}
