Réponse :
Bonjour,
Explications étape par étape
Partie A :
1) En 2018, on dispose de 57000+6000=63000 ouvrages soit 63 milliers.
Donc U(0)=63
2)Chaque année, on supprime 4% des ouvrages de l'année précédente donc donc on multiplie ce nb par (1-4/100) soit 0.96.
Mais on ajoute 7 milliers de livres noeufs. Donc :
U(n+1)=U(n)*0.96+7
3) Cet algorithme calcule le nb minimum d'années à attendre pour que la médiathèque contienne plus de 100 000 ouvrages.
4) Avec un tableau Excel , je trouve qu'il faut 10 ans donc en 2028.
Partie B :
1) On change :
U <-- U*0.96+7 en :
U <-- U*0.96+5
2) Donc :
V(n+1)=0.96*V(n)+5
W(n)=V(n)-125
W(n+1)=V(n+1)-125=0.96*V(n)+5-125=0.96*V(n)-120
On met 0.96 en facteur :
W(n+1)=0.96[V(n)-125]
W(n+1)=0.96*W(n)
qui prouve que (W(n)) est une suite géométrique de raison q=0.96 et de 1er terme W(0)=V(0)-125=63-125=-62
3) On sait que pour une suite géométrique :
W(n)=W(0)*q^n
soit ici :
W(n)=-62*0.96^n
qui donne :
V(n)=W(n)+125
soit :
V(n)=125-62*0.96^n
4)
On résout :
125 -62*0.96^n > 100
62*0.96^n < 125-100
62*0.96^n < 25
0.96^n < (25/62)
Tu connais la fct ln(x) ?
Si oui :
ln(0.96^n) < ln(25/62)
n*ln0.96 < ln(25/62)
n > ln(25/62)/ln0.96 ---->On change < en > car ln0.96 est négatif.
qui donne n > 22.2...
Donc à partir de la 23ème année soit 2018+23=..
Si tu ne connais pas la fct ln(x) , tu procèdes par tâtonnements.
