Réponse : Bonjour,
2)[tex]y=f'(1)(x-1)+f(1)\\f'(x)=-2x+4 \Rightarrow f'(1)=-2+4=2\\f(1)=-1^{2}+4 \times 1+1=-1+4+1=4\\Donc \; y=2(x-1)+4=2x-2+4=2x+2[/tex].
3)a) Il faut résoudre l'équation [tex]f'(a)=-4\\-2a+4=-4\\-2a=-8\\a=4[/tex].
Donc si [tex]a=4[/tex], la tangente [tex]T_{a}[/tex] est parallèle à la droite d'équation [tex]y=-4x+1[/tex].
b) Pour tout [tex]a \in \mathbb{R}[/tex], la tangente [tex]T_{a}[/tex] a pour équation:
[tex]y=f'(a)(x-a)+f(a)\\y=(-2a+4)(x-a)-a^{2}+4a+1\\y=-2ax+2a^{2}+4x-4a-a^{2}+4a+1\\y=(-2a+4)x+a^{2}+1[/tex]
c) [tex]T_{a}[/tex] passe par le point [tex]K(3;8)[/tex] si et seulement si:
[tex]8=(-2a+4)\times 3+a^{2}+1\\8=-6a+12+a^{2}+1\\a^{2}-6a+5=0\\\Delta=(-6)^{2}-4 \times 1 \times 5=36-20=16\\a_{1}=\frac{6-\sqrt{16}}{2}=\frac{6-4}{2}=1\\a_{2}=\frac{6+\sqrt{16}}{2}=\frac{6+4}{2}=\frac{10}{2}=5[/tex].
Donc les tangentes à [tex]f[/tex] aux point d'abscisses [tex]a=1[/tex] et [tex]a=5[/tex] passent par le point [tex]K(3;8)[/tex].
d) Détermination de l'équation de la tangente à [tex]f[/tex] au point d'abscisse [tex]a=1[/tex].
On utilise l'équation générale de la tangente à [tex]f[/tex] au point d'abscisse [tex]a[/tex], trouvée à la question b):
[tex]y=(-2 \times 1+4)x+1^{2}+1=2x+2[/tex].
Point de contact avec la courbe: [tex](1;2 \times 1+2)=(1;4)[/tex].
Détermination de l'équation de la tangente à [tex]f[/tex] au point d'abscisse [tex]a=5[/tex].
On a:
[tex]y=(-2 \times 5+4)x+5^{2}+1=(-10+4)x+26=-6x+26[/tex].
Point de contact avec la courbe: [tex](5;-6 \times 5+26)=(5;-30+26)=(5;-4)[/tex].
