Bonsoir,
1) Calculons les premiers termes de la suite.
Selon l'énoncé, le 1er mètre coûte 130 euros et chaque mètre supplémentaire coûte 52 euros de plus que le mètre précédent.
U1 = 130
U2= 182
U3 =234
U3 -U2 = 52 et U2 - u1 = 52
La différence entre N+1 et N est donc constante, la suite est donc arithmétique de raison 52 et de premier terme U1 = 130
2) Un est une suite arithmétique définie à partir du terme U1
Donc selon ton cour, l'expression de Un = U1 + (n-1) * R
Donc ici :
Un = 130 + (n-1) *52
3) Selon le cour, la somme d'une suite arithmétique dont le premier terme est U1 est : S(n) = n * (U1+Un) /2
Donc ici avec U1 = 130 et Un = 130 + (n-1) * 52
on a : S(n) = n * ( ( 130 + 130 + (n-1) *52 ) / 2 )
S(n) = n * ( ( 260 + 52n -52 ) /2 )
S (n) = n* ( 130 +26n -26)
S(n) = n * (104 +26n)
S(n) = 26n²+104n
4) la budget est de 116 610 euros
Donc on aura utilisé tout le budget quand : 26n²+104n = 116 610
Donc on a : 26n²+104n - 116 610 = 0
On a une équation du second degré.
Aucune factorisation évidente, donc on résout par la méthode du discriminant :
Delta = b²-4 ac
Avec ici : a = 26 ; b = 104 ; c = - 116 610
Delta = 104²- 4 ( 26 * (-116 610 )
= 10 816 + 12 127 440
= 12 138 256
Delta est supérieur à 0 , donc l'équation admets deux solutions réelles.
Notons que V(12 138 256) = 3 484
S1 = (-b + Vdelta ) / 2 a = (-104+3484) /52 = 65
s2 = (-b - Vdelta) /2a = (-104-3484) /52 = -69
Si mathématiquement, on a deux solutions valables, dans le contexte de l'exercice , il n'y a aucun sens de retenir la solution négative ( forer -69 mètres est absurde )
Avec 116 610 euros on peut forer 65 mètres.
